ζ*(1,1,2,2)を求める

はじめに

タイトルの通り${\zeta }^{\ast }(1,1,2,2)$を求めます。そこまで難易度の高いものではないのですが、導出方法が綺麗なので記事にすることにしました。折角なので導出を丁寧に書いていきます。早速求めてみましょう。

求める

まずはMZSVからMZVに直します。これは場合分けすることで直すことができます。
${\zeta }^{\ast }(1,1,2,2)=\zeta (1,1,2,2)+\zeta (1,1,4)+\zeta (1,3,2)+\zeta (2,2,2)+\zeta (1,5)+\zeta (4,2)+\zeta (6)$
$(1,1,2,2)$の双対インデックスは$(2,4)$なので、$\zeta (1,1,2,2)=\zeta (2,4)$が成立します。これも使いましょう。
${\zeta }^{\ast }(1,1,2,2)=\zeta (1,1,4)+\zeta (1,3,2)+\zeta (2,2,2)+\zeta (1,5)+\zeta (2,4)+\zeta (4,2)+\zeta (6)\dots A$
ここで、depth3、weight6の和公式を考えます。
$\zeta (1,1,4)+\zeta (1,2,3)+\zeta (1,3,2)+\zeta (2,1,3)+\zeta (2,2,2)+\zeta (3,1,2)=\zeta (6)$
また、
$\zeta (3{)}^2=\zeta (3)\zeta (1,2)=\zeta (3,1,2)+\zeta (1,3,2)+\zeta (1,2,3)+\zeta (4,2)+\zeta (1,5)$
より、
$\zeta (3,1,2)+\zeta (1,3,2)+\zeta (1,2,3)=\zeta (3{)}^2-\zeta (4,2)-\zeta (1,5)$
が成立するので、これを代入します。
$\zeta (1,1,4)+\zeta (2,1,3)+\zeta (2,2,2)=\zeta (6)-\zeta (3{)}^2+\zeta (4,2)+\zeta (1,5)$
ここで、 $(2,1,3)$の双対インデックスは$(1,3,2)$なので、$\zeta (2,1,3)=\zeta (1,3,2)$が成立します。これを使いましょう。
$\zeta (1,1,4)+\zeta (1,3,2)+\zeta (2,2,2)=\zeta (6)-\zeta (3{)}^2+\zeta (4,2)+\zeta (1,5)$
この式を$A$に代入して、 こちら の記事にある一覧表から$\zeta (1,5)$と$\zeta (4,2)$を綺麗にしてみましょう。
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(1,1,2,2)\\ & =& \zeta (6)-\zeta (3{)}^2+\zeta (4,2)+\zeta (1,5)+\zeta (1,5)+\zeta (2,4)+\zeta (4,2)+\zeta (6)\\ & =& 2\zeta (6)-\zeta (3{)}^2+2\zeta (1,5)+\zeta (2,4)+2\zeta (4,2)\\ & =& 2\zeta (6)-\zeta (3{)}^2+\frac{3}{2}\zeta (6)-\zeta (3{)}^2-\frac{4}{3}\zeta (6)+\zeta (3{)}^2+\frac{25}{6}\zeta (6)-2\zeta (3{)}^2\\ & =& \frac{19}{3}\zeta (6)-3\zeta (3{)}^2\end{array}$
以上より、${\displaystyle {\zeta }^{\ast }(1,1,2,2)={\displaystyle \frac{19}{3}\zeta (6)-3\zeta (3{)}^2}}$がわかりました。

おわりに

和公式を上手に使うことができる点が個人的にかなり好きだったので今回記事にしました。また、3重以上のMZVの具体値を1つも求めずに導出できるという点もいいですね。