ガロア群と副有限群について

$\blacksquare$ 副有限群の構成
　$i \leq j\ (i,\ j\in I)$ を $K_i \subset K_j$ と定義することで $(I,\ \leq)$ は有向集合となる。$G_i:=\text{Gal}(K_i/K)$ に離散位相を入れ、$f_{ij}: G_j \to G_i,\ \sigma_j \mapsto \sigma_j \mid_{K_i}$ と定義すると $(\lbrace G_i\rbrace_{i\in I},\ \lbrace f_{ij}\rbrace_{i\leq j})$ は逆系となり $\widehat{G} := \displaystyle \varprojlim_{i\in I} G_i$ は副有限群である。

$\blacksquare$ 単射準同型
$$\varphi : G \to \widehat{G},\ \sigma \mapsto (\sigma\mid_{K_i})_{i\in I}$$
と定義すると $\varphi$ は単射準同型である。
$\blacksquare$ 全射
　任意の $(\sigma_i)_{i\in I} \in \widehat{G}$ をとる。$\alpha \in L$ に対して $\alpha \in K_i$ となる $i\in I$ をとり $\sigma(\alpha) := \sigma_i(\alpha)$ と定義することで $\sigma: L\to L$ を定めると $\sigma\in G$ となる(注1)。$\varphi$ の定義より $\varphi(\sigma) = (\sigma_i)_{i\in I}$ となる。

$(1)$
　任意の $U\in \mathcal{U}_\sigma$ に対して $U=\sigma\text{Gal}(L/K_i)$ となる $K_i$ が存在する。$id_L\in \text{Gal}(L/K_i)$ であるから $\sigma\in U$ となる。
$(2)$
　任意の $U,\ V\in\mathcal{U}_\sigma$ に対して $U=\sigma\text{Gal}(L/K_i),\ V=\sigma\text{Gal}(L/K_j)$ となる $i,\ j\in I$ が存在する。$W:=\sigma\text{Gal}(L/K_iK_j)$ とおく $W\subset U\cup V$ となる。
$(3)$
　任意の $U\in \mathcal{U}_\sigma$ に対して $U=\sigma\text{Gal}(L/K_i)$ となる $i\in I$ が存在する。$V:=U$ とおく。次を示す：「任意の $\tau\in V$ に対して $W\subset U$ となる $W\in \mathcal{U}_\tau$ が存在する」
　$W:=\tau\text{Gal}(L/K_i)$ とおくと $W\in \mathcal{U}_\tau$ であり、$\tau\in\sigma\text{Gal}(L/K_i)$ より $W=U$ となる。

　まず、任意の $i\in I$ に対して $\text{Gal}(L/K_i)$ は $G$ の正規部分群である。$\cdots(*)$

$\blacksquare$ 演算の連続性
　任意の $\sigma,\ \tau\in G$ と $\sigma\tau\subset U$ となるような任意の $U\in \mathcal{O}_G$ に対して $\sigma\tau\text{Gal}(L/K_i)\subset U$ となる $i\in I$ が存在する。$V := \sigma\text{Gal}(L/K_i),\ W := \tau\text{Gal}(L/K_i)$ とおくと $(*)$ より
$$ VW = \sigma\tau\text{Gal}(L/K_i)\subset U$$
となる。

$\blacksquare$ 逆元の連続性
　任意の $\sigma\in G$ と $\sigma\subset U$ となるような任意の $U\in \mathcal{O}_G$ に対して $\sigma\text{Gal}(L/K_i)\subset U$ となる $i\in I$ が存在する。$V:=\sigma\text{Gal}(L/K_i)$ とおくと $(*)$ より
$$ V^{-1} = \sigma\text{Gal}(L/K_i)\subset U$$
となる。

$(1)$
　$\text{Gal}(L/M)$ が閉集合であることを示す。$\mathcal{F}$ を $K$ 上有限次拡大であるような $M/K$ の中間体全体とすると、$M=\displaystyle \bigcup_{F\in \mathcal{F}}F$ であり、
$$\text{Gal}(L/M) = \displaystyle \bigcap_{F\in \mathcal{F}}\text{Gal}(L/F)$$
となる。各 $F\in \mathcal{F}$ に対して $F'$ を $F\subset F'\subset L$ となるような $K$ 上の有限次ガロア拡大とすると
$$\text{Gal}(L/F')\subset \text{Gal}(L/F)$$
となる。補題 2 より $\text{Gal}(L/F')$ は $G$ の単位元の開近傍であるから $\text{Gal}(L/F)$ は $G$ の開部分群である。よって $\text{Gal}(L/F)$ は閉集合であるから $\text{Gal}(L/M)$ は $G$ の閉集合である。

$(2)$
　$\overline{H}$ を $H$ の $G$ における閉包とすると、$(1)$ より $\overline{H}\subset \text{Gal}(L/L^H)$ となる。逆の包含を示すために $\sigma\in \text{Gal}(L/L^H)\setminus \overline{H}$ と仮定すると、$\sigma\notin \overline{H}$ より $\sigma\text{Gal}(L/K_i)\cap H=\emptyset$ となるような $i\in I$ が存在する。
$$ \mu:G\to\text{Gal}(K_i/K),\ \rho\mapsto\rho\mid_{K_i}$$
とすると、
$$ K_i^{\mu(H)} = K_i\cap L^H$$
となる。$K_i/K$ は有限次ガロア拡大であるから
$$ \mu(H) = \text{Gal}(K_i/K_i\cap L^H)$$
が成り立つ。いま $\sigma\in \text{Gal}(L/L^H)$ であるから、任意の $\alpha\in K_i\cap L^H$ に対して $\sigma(\alpha) = \alpha$ となる。よって $\sigma\mid_{K_i}\in \mu(H)$ となるから、$\sigma\mid_{K_i} = \tau\mid_{K_i}$ となるような $\tau\in H$ が存在する。したがって $\tau\in \sigma\text{Gal}(L/K_i)\cap H$ となり、$\sigma\text{Gal}(L/K_i)\cap H=\emptyset$ に矛盾する。

$\blacksquare$ $\varPsi\circ\varPhi=id_{\mathcal{M}}$
　任意の $M\in\mathcal{M}$ に対して $L/M$ はガロア拡大であるから $L^{\text{Gal}(L/M)} = M$ となる。よって
$$ \varPsi(\varPhi(M)) = \varPsi(\text{Gal}(L/M)) = L^{\text{Gal}(L/M)} = M$$
が成り立つ。

$\blacksquare$ $\varPhi\circ\varPsi=id_{\mathcal{H}}$
　任意の $H\in \mathcal{H}$ に対して 命題 4 より $H = \text{Gal}(L/L^H)$ となるから
$$ \varPhi(\varPsi(H)) = \varPhi(L^H) = \text{Gal}(L/L^H) = H$$
が成り立つ。

$(1)$
$\blacksquare$ 分離拡大であること
　$L/K$ は分離拡大なので $L^N/K$ も分離拡大である。

$\blacksquare$ 正規拡大であること
　$\sigma$ を $L^N$ から $K$ の代数閉包 $\overline{K}$ への $K$ 上の埋め込みとする。$\sigma'$ を $\sigma$ の $L$ への延長とすると $\sigma' \in G$ である。$N$ は正規部分であるから、任意の $\tau\in N$ に対して $\tau \sigma' = \sigma' \tau'$ となるような $\tau'\in N$ が存在する。任意の $\alpha\in L^N$ に対して $\tau \sigma' (\alpha) = \sigma' \tau' (\alpha) = \sigma'(\alpha)$ となるから $\sigma(\alpha) = \sigma'(\alpha) \in L^N$ となる。よって $L^N/K$ は正規拡大である。

$\blacksquare$ 有限次拡大であること
　$L^N/K$ が有限次拡大でないと仮定すると $m := [K(\theta):K] > |G/N|$ となるような $\theta\in L^N$ が存在する。$L^N/K$ は分離拡大なので $K(\theta)$ から $\overline{K}$ への $K$ 上の埋め込みはちょうど $m$ 個存在する。これらを $\lbrace \sigma_1,\ \cdots,\ \sigma_m \rbrace$ とし、$\sigma_i$ の $L$ への延長を ${\sigma_i}' \in G$ とする。${\sigma_i}'N = {\sigma_j}'N$ ならば ${\sigma_i}'(\theta)={\sigma_j}'(\theta)$ となり、よって $\sigma_i = \sigma_j$ となる。したがって $G/N$ は少なくとも $m$ 個の元を持つことになり、$m > |G/N|$ に矛盾する。

$(2)$
　$N$ は開部分群であるから閉集合である。よって 命題 4 より $N=\text{Gal}(L/L^N)$ となる。

$(3)$
　$G/N$ は離散位相群であるから、群同型写像
$$ G/N\to\text{Gal}(L^N/K),\ \sigma N \mapsto \sigma\mid_{L^N}$$
は同相写像となる。

　命題 1 の群同型写像
$$\varphi : G \to \widehat{G},\ \sigma \mapsto (\sigma\mid_{K_i})_{i\in I}$$
が、同相写像であることを示す。

$\blacksquare$ $\varphi$ が連続であること
　任意の $i\in I$ に対して $N_i:=\text{Gal}(L/K_i)$ とおく。
$$ \eta_i:G\to G/N_i,\ \sigma\mapsto \sigma N_i\\ \psi_i:G/N_i\xrightarrow{\sim}\text{Gal}(K_i/K),\ \sigma N_i\mapsto \sigma\mid_{K_i}\\ \pi_i:\widehat{G}\to \text{Gal}(K_i/K),\ (\sigma_i)_{i\in I}\mapsto \sigma_i $$
とすると、各写像は連続であり以下は可換図式である(注2)：
$$ \xymatrix{ \large{G} \ar[rr]^-{\Large\varphi} \ar[dd]_-{\Large\eta_i} & & \large{\widehat{G}} \ar[dd]^-{\Large\pi_i} \\ & \ar@{}[]|{\LARGE\circlearrowright} & \\ \large{G/N_i} \ar[rr]_-{\Large\psi_i}^-{\Large\simeq} & & \large{\text{Gal}(K_i/K)} } $$
よって $\varphi$ は連続である。

$\blacksquare$ $\varphi^{-1}$ が連続であること
　$N$ を $G$ の任意の正規開部分群とすると、命題 6 より $L^N=K_j$ となる $j\in I$ が存在する。

$$ \eta_j:G\to G/N,\ \sigma\mapsto \sigma N\\ \psi_j:G/N\xrightarrow{\sim}\text{Gal}(K_j/K),\ \sigma N\mapsto \sigma\mid_{K_j}\\ \pi_j:\widehat{G}\to \text{Gal}(K_j/K),\ (\sigma_i)_{i\in I}\mapsto \sigma_j $$
とすると、各写像は連続であり以下は可換図式である：
$$ \xymatrix{ \large{G} \ar[rr]^-{\Large\varphi} \ar[dd]_-{\Large\eta_j} & & \large{\widehat{G}} \ar[dd]^-{\Large\pi_j} \\ & \ar@{}[]|{\LARGE\circlearrowright} & \\ \large{G/N} \ar[rr]_-{\Large\psi_j}^-{\Large\simeq} & & \large{\text{Gal}(K_j/K)} } $$

　また $\pi_j$ は全射開写像(注3)であるから、位相群の準同型定理により
$$ \widehat{G}/\text{Ker}(\pi_j)\simeq\text{Gal}(K_j/K)$$
が成り立つ。よって $\widehat{G}/\text{Ker}(\pi_j)$ は離散位相群であるから、$\text{Ker}(\pi_j) = \varphi(N)$ より $\varphi(N)$ は $\widehat{G}$ の正規開部分群である。よって $\varphi^{-1}$ は連続である。