【Causality備忘録】Future Set, Past Set
これは私の備忘録なので、まとまってないし読まないほうがいいです。随時加筆します。
因果構造の議論においてしばしば重要となるFuture Set(未来集合)、Past Set(過去集合)についてまとめます。
時空$(M,g)$の部分集合$F$が未来集合であるとは、$I^+(F)\subset F$となるときをいう。
集合$S$に対して、$I^+(\overline{S})=I^+(S)$である。
$p\in I^+(\overline{S})$に対して、ある$q\in\overline{S}$があり、$p\in I^+(q)$となる。$I^-(p)$は$q$の近傍であるから、点列$\{q_n\}\in I^-(p)\cap S,\ q_n\to q$がある。よって、$p\in I^+(p_n)\subset I^+(S)$である。
Future Set $F$に対して、次が成り立つ。
(1) $ int(\overline{F})=int(F)$
(2) $int(F)=I^+(F)$
(3) $\overline{int(F)}=\overline{F}$
(4) $\overline{F}=\{x\in M;\ I^+(x)\subset F\}$
(1)
・$int(\overline{F})\supset int(F)$であること
$\overline{F}\supset F$より明らか
・$int(\overline{F})\subset int(F)$であること
$p\in int(\overline{F})$に対して、近傍$U$があり、$p\in U\subset\overline{F}$となる。$p^-\in I^-(p,U)\subset \overline{F}$を一つ取ると、$p\in I^+(p^-)\subset I^+(\overline{F})=I^+(F)\subset F$となるから、$int(\overline{F})\subset int(F)$である。
(2)
・$ int(F)\subset I^+(F)$であること
$ p\in int(F)$なら$ p\in U\subset F$となる近傍$ U$があるから$ p\in I^+(F)$である。
・$ int(F)\supset I^+(F)$であること
$ I^+(F)\subset F$より明らか。
(3)
・$\overline{int(F)}\subset \overline{F}$であること
$int(F)\subset F$より明らか。
・$\overline{int(F)}\supset \overline{F}$であること
$p\in\overline{F}$に対して、$I^+(p)\subset I^+(\overline{F})=I^+(F)=int(F)$であるから、点列$\{p_n\}\in I^+(F)=int(F)$で$p_n\to p$となるものが存在する。よって$p\in\overline{int(F)}$である。
(4)
https://mathlog.info/articles/4106
の補題１と同様に、$\overline{I^+(F)}=\{x\in M;\ I^+(x)\subset F\}$である。また(2),(3)より、$\overline{F}=\overline{int(F)}=\overline{I^+(F)}$である。