【Causality備忘録】Future Set, Past Set

$p\in I^{+}(\bar{S})$に対して、ある$q\in \bar{S}$があり、$p\in I^{+}(q)$となる。$I^{-}(p)$は$q$の近傍であるから、点列$\{q_n\}\in I^{-}(p)\cap S,q_n\to q$がある。よって、$p\in I^{+}(p_n)\subset I^{+}(S)$である。

(1)
・$int(\bar{F})\supset int(F)$であること
$\bar{F}\supset F$より明らか
・$int(\bar{F})\subset int(F)$であること
$p\in int(\bar{F})$に対して、近傍$U$があり、$p\in U\subset \bar{F}$となる。$p^{-}\in I^{-}(p,U)\subset \bar{F}$を一つ取ると、$p\in I^{+}(p^{-})\subset I^{+}(\bar{F})=I^{+}(F)\subset F$となるから、$int(\bar{F})\subset int(F)$である。

(2)
・$int(F)\subset I^{+}(F)$であること
$p\in int(F)$なら$p\in U\subset F$となる近傍$U$があるから$p\in I^{+}(F)$である。
・$int(F)\supset I^{+}(F)$であること
$I^{+}(F)\subset F$より明らか。

(3)
・$\overline{int(F)}\subset \bar{F}$であること
$int(F)\subset F$より明らか。
・$\overline{int(F)}\supset \bar{F}$であること
$p\in \bar{F}$に対して、$I^{+}(p)\subset I^{+}(\bar{F})=I^{+}(F)=int(F)$であるから、点列$\{p_n\}\in I^{+}(F)=int(F)$で$p_n\to p$となるものが存在する。よって$p\in \overline{int(F)}$である。

(4)
https://mathlog.info/articles/4106 の補題１と同様に、$\overline{I^{+}(F)}=\{x\in M;I^{+}(x)\subset F\}$である。また(2),(3)より、$\bar{F}=\overline{int(F)}=\overline{I^{+}(F)}$である。