【Causality】全悪質時空２

　この記事は全悪質時空１の続きです。この記事の目的は全悪質時空１で証明された定理

時空 $(M, g)$ がreflectingでかつCTCが存在するならば、TVである。

の条件をreflectingからlocally reflectingに弱めた定理を証明することです。locally reflectingとは次のように定義される性質です。

locally reflecting

時空 $(M, g)$ がlocally reflectingであるとは、任意の点 $p \in M$ に対して、 $p$ の開近傍 $U$ があり、任意の $x, y \in U$ に対して、 $I^{+} (x) \subset I^{+} (y) \Leftrightarrow I^{-} (x) \supset I^{-} (y)$ が成り立つことである。

　この記事では次の定理を証明します。

時空 $(M, g)$ がlocally reflectingでかつCTCが存在するならば、TVである。

　この定理は
Kim, Jong‐Chul, and Jin‐Hwan Kim. "Totally vicious space‐times." Journal of mathematical physics 34.6 (1993): 2435-2439.
において証明されました。この記事はこの論文の証明を再編したものです。

例

　reflectingならばlocally reflectingですが、逆は成り立ちません。例えば、２次元Minkowski時空( $d s^{2} = - d t^{2} + d x^{2}$ )から、 ${x; - 1 \leq x \leq 1}$ を取り除いた時空はlocally reflectingですがreflectingではありません。

　また下図はlocally reflectingでない時空の図です。

　（そのうち載せときます）

証明

　まずこの証明にとって重要な $Δ$ 集合を定義します。

Δ

集合

$Δ^{+} (p) = {q \in M; I^{+} (q) = I^{+} (p)}$
$Δ^{-} (p) = {q \in M; I^{-} (q) = I^{-} (p)}$
$Δ (p) = Δ^{+} (p) \cap I^{-} (p)$

　future distinguishingな時空だと $I^{+} (p) = I^{+} (q)$ となるとき $p = q$ なので、 $Δ$ 集合が大きいほどnon-distinguishingな度合が強いことになります。

$x << x$ ならば、 $I^{+} (x) \cap I^{-} (x) = Δ (x)$

$x << x$ だから $I^{+} (x) \cap I^{-} (x) \neq \emptyset$ である。
$I^{+} (x) \cap I^{-} (x) \subset Δ (x)$ を示す。
$y \in I^{+} (x) \cap I^{-} (x)$ とする。
$y << x$ より $I^{+} (y) \supset I^{+} (x)$ である。
$y >> x$ より $I^{+} (y) \subset I^{+} (x)$ である。
よって $I^{+} (y) = I^{+} (x)$ となる。
同様に $I^{-} (y) = I^{-} (x)$ となる。

$I^{+} (x) \cap I^{-} (x) \supset Δ (x)$ を示す。
$y \in Δ (x)$ に対して、 $I^{\pm} (y) = I^{\pm} (x)$ かつ $x << x$ であるから、
$I^{+} (y) = I^{+} (x) ∋ x \Rightarrow y << x \Rightarrow y \in I^{-} (x)$
$I^{-} (y) = I^{-} (x) ∋ x \Rightarrow x << y \Rightarrow y \in I^{+} (x)$
である。

$p \in M$ においてlocally reflectingであるとすると、 $Δ (p)$ は閉集合である。

$Δ (p)$ の補集合がopenであることを示す。
$x \notin Δ (p)$ とする。
(i) $I^{+} (x) - I^{+} (p) \neq \emptyset$ であること
$y \in I^{+} (x) - I^{+} (p)$ に対して、 $I^{-} (y)$ は $x$ の開近傍
もし $z \in I^{-} (y) \cap Δ (p) \neq \emptyset$ なら $y \in I^{+} (z) = I^{+} (p)$ となるから仮定に矛盾する
よって $I^{-} (y)$ は $I^{-} (y) \cap Δ (p) = \emptyset$ なる $y$ の開近傍である

(ii) $I^{-} (x) - I^{-} (p) \neq \emptyset$ であること
(i)と同様

(iii) $I^{+} (x) - I^{+} (p) = \emptyset, I^{-} (x) - I^{-} (p) = \emptyset$ であること
$I^{+} (x) \neq I^{+} (p)$ だから $I^{+} (x) \subset I^{+} (p)$ である
同様に $I^{-} (x) \subset I^{-} (p)$ である
$x$ のreflecting nbhd $U$ をとる
もし $U \cap Δ (p) \neq \emptyset$ なら $q \in U \cap Δ (p) \neq \emptyset$ に対して、 $I^{+} (x) \subset I^{+} (q), I^{-} (x) \subset I^{-} (q)$ であるから、 $U$ がreflecting nbfdであることに矛盾する
よって $U \cap Δ (p) = \emptyset$ である

以上より定理２が証明されます。

定理２の証明

$x << x$ となる $x \in M$ が存在するから、補題１より $I^{+} (x) \cap I^{-} (x) = Δ (x)$ となる。
locally reflectingだから補題２より $Δ (x)$ はclosedである。
よって $M$ は連結であるから、 $I^{+} (x) \cap I^{-} (x) = M$ となる。

感想

　 $Δ$ 集合は定義からnon-distinguishingと関係の強い概念であると思われるが、
non-distinguishing $\supset$ non-causal $\supset$ non-chronological $\supset$ totally vicious
なのだから、totally viciousの証明にいきなり使われるのは少しギャップを感じる。 $Δ$ 集合とnon-causal,non-chronological時空との関係が知りたい。

投稿日：2023年4月19日

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Submersion

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専門は相対論やLorentz幾何です。Einstein系の厳密解の構成や接触幾何の応用などの研究をしています。Ph.D保有者の中ではクソ雑魚の部類です。

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