【Causality】全悪質時空２
この記事は 全悪質時空１ の続きです。この記事の目的は 全悪質時空１ で証明された定理
時空$(M,g)$がreflectingでかつCTCが存在するならば、TVである。
の条件をreflectingからlocally reflectingに弱めた定理を証明することです。locally reflectingとは次のように定義される性質です。
時空$(M,g)$がlocally reflectingであるとは、任意の点$p\in M$に対して、$p$の開近傍$U$があり、任意の$x,y\in U$に対して、$I^+(x)\subset I^+(y)\Leftrightarrow I^-(x)\supset I^-(y)$が成り立つことである。
この記事では次の定理を証明します。
時空$(M,g)$がlocally reflectingでかつCTCが存在するならば、TVである。
この定理は
Kim, Jong‐Chul, and Jin‐Hwan Kim. "Totally vicious space‐times." Journal of mathematical physics 34.6 (1993): 2435-2439.
において証明されました。この記事はこの論文の証明を再編したものです。
例
reflectingならばlocally reflectingですが、逆は成り立ちません。例えば、２次元Minkowski時空($ds^2=-dt^2+dx^2$)から、$\{x;\ -1\le x\le 1\}$を取り除いた時空はlocally reflectingですがreflectingではありません。
また下図はlocally reflectingでない時空の図です。
（そのうち載せときます）
証明
まずこの証明にとって重要な$\Delta$集合を定義します。
$ \Delta^+(p)=\{q\in M;\ I^+(q)=I^+(p)\}$
$ \Delta^-(p)=\{q\in M;\ I^-(q)=I^-(p)\}$
$ \Delta(p)=\Delta^+(p)\cap I^-(p)$
future distinguishingな時空だと$I^+(p)=I^+(q)$となるとき$p=q$なので、$\Delta$集合が大きいほどnon-distinguishingな度合が強いことになります。
$ x<< x$ならば、$ I^+(x)\cap I^-(x)= \Delta(x)$
$ x<< x$だから$ I^+(x)\cap I^-(x)\ne\emptyset$である。
$ I^+(x)\cap I^-(x)\subset \Delta(x)$を示す。
$ y\in I^+(x)\cap I^-(x)$とする。
$ y<< x$より$ I^+(y)\supset I^+(x)$である。
$ y>>x$より$ I^+(y)\subset I^+(x)$である。
よって$ I^+(y)=I^+(x)$となる。
同様に$ I^-(y)=I^-(x)$となる。
$ I^+(x)\cap I^-(x)\supset \Delta(x)$を示す。
$ y\in\Delta(x)$に対して、$ I^\pm(y)=I^\pm(x)$かつ$ x<< x$であるから、
$ I^+(y)=I^+(x)\ni x\Rightarrow y<< x \Rightarrow y\in I^-(x)$
$ I^-(y)=I^-(x)\ni x \Rightarrow x<< y \Rightarrow y\in I^+(x)$
である。
$ p\in M$においてlocally reflectingであるとすると、$ \Delta(p)$は閉集合である。
$ \Delta(p)$の補集合がopenであることを示す。
$ x\notin\Delta(p)$とする。
(i)$ I^+(x)-I^+(p)\ne\emptyset$であること
$ y\in I^+(x)-I^+(p)$に対して、$ I^-(y)$は$ x$の開近傍
もし$ z\in I^-(y)\cap \Delta(p)\ne\emptyset$なら$ y\in I^+(z)=I^+(p)$となるから仮定に矛盾する
よって$ I^-(y)$は$ I^-(y)\cap \Delta(p)=\emptyset$なる$ y$の開近傍である
(ii)$ I^-(x)-I^-(p)\ne\emptyset$であること
(i)と同様
(iii)$ I^+(x)-I^+(p)=\emptyset,\ I^-(x)-I^-(p)=\emptyset$であること
$ I^+(x)\ne I^+(p)$だから$ I^+(x)\subset I^+(p)$である
同様に$ I^-(x)\subset I^-(p)$である
$ x$のreflecting nbhd$ U$をとる
もし$ U\cap\Delta(p)\ne\emptyset$なら$ q\in U\cap\Delta(p)\ne\emptyset$に対して、$ I^+(x)\subset I^+(q),\ I^-(x)\subset I^-(q)$であるから、$ U$がreflecting nbfdであることに矛盾する
よって$ U\cap\Delta(p)=\emptyset$である
以上より定理２が証明されます。
$ x<< x$となる$x\in M$が存在するから、補題１より$ I^+(x)\cap I^-(x)= \Delta(x)$となる。
locally reflectingだから補題２より$ \Delta(x)$はclosedである。
よって$M$は連結であるから、$ I^+(x)\cap I^-(x)= M$となる。
感想
$\Delta$集合は定義からnon-distinguishingと関係の強い概念であると思われるが、
non-distinguishing $\supset$ non-causal $\supset$ non-chronological $\supset$ totally vicious
なのだから、totally viciousの証明にいきなり使われるのは少しギャップを感じる。$\Delta$集合とnon-causal,non-chronological時空との関係が知りたい。