ディリクレ積分の証明

はじめに

この記事ではディリクレ積分の少し変わった証明について書いていきます。
こちら で $\tau \rho \iota \alpha$ さんが簡単な証明を書いているので、そちらも見てください。

証明

$f(x)={\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$のフーリエ級数展開を考えます。
${\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)}$
${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\frac{a_0}{2}+\underset{x\to 0}{lim}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)}$
$1={\displaystyle \frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$
ここで、
$a_0={\displaystyle \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin x}{x}dx=\frac{2}{\pi }\text{Si}(\pi )}$
また、
$\begin{array}{rcl}& & a_n\\ & =& \frac{1}{\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }\frac{\sin x\cos nx}{x}dx\\ & =& \frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }(\frac{\sin ((n+1)x)}{x}+\frac{\sin ((n-1)x)}{x})dx\\ & =& \frac{1}{\pi }(\text{Si}((n+1)\pi )-\text{Si}((n-1)\pi ))\end{array}$
より、
${\displaystyle 1=\frac{1}{\pi }\text{Si}(\pi )+\frac{1}{\pi }\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\text{Si}((n+1)\pi )-\text{Si}((n-1)\pi ))}$
$1={\displaystyle \frac{1}{\pi }\text{Si}(\pi )-\frac{1}{\pi }\text{Si}(0)-\frac{1}{\pi }\text{Si}(\pi )+\frac{2}{\pi }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{Si}((n+1)\pi )}$
${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{Si}((n+1)\pi )=\frac{\pi }{2}}$
${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}}$
よって、${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin x}{x}dx=\frac{\pi }{2}}$が証明されました。

おわりに

以上がフーリエ級数展開を用いた証明です。極限を取ることで上手に求まるのが面白いですね。