depth2,weight9以下のMZVを求める

はじめに

この記事では$\zeta(4,4) $や$\zeta(1,8) $などのdepthが2、weightが8以上のMZVをいくつか求めていきます。
しかし、全てを求めることはできませんでした。というのは、求まらないものがあるからです。後で詳しく書きますが、例えば$\zeta(2,6) $はMZVの有理数係数線形結合で表すことはできません。そのようなものは一覧表から外しています。
また、前回の記事( こちら )と同様の函数を使います。まだ見ていないという方は是非そちらから見てください。

一覧表

$ \displaystyle \zeta(1,7)=\frac54\zeta(8)-\zeta(3)\zeta(5)\\ \displaystyle \zeta(4,4)=\frac1{12}\zeta(8)\\ \zeta(1,8)=4\zeta(9)-\zeta(2)\zeta(7)-\zeta(3)\zeta(6)-\zeta(4)\zeta(5)\\ \d \z(2,7)=-\frac{37}2\z(9)+7\z(2)\z(7)+2\z(3)\z(6)+4\z(4)\z(5)\\ \d\z(3,6)=\frac{83}2\z(9)-21\z(2)\z(7)-6\z(3)\z(6)\\ \d\z(4,5)=-\frac{127}2\z(9)+35\z(2)\z(7)+5\z(4)\z(5)\\ \z(5,4)=\d\frac{125}2\z(9)-35\z(2)\z(7)-4\z(4)\z(5)\\ \z(6,3)=-\d\frac{85}2\z(9)+21\z(2)\z(7)+\z(3)\z(6) +6\z(4)\z(5)\\ \z(7,2)=\d\frac{35}2\z(9)-6\z(2)\z(7)-2\z(3)\z(6)-4\z(4)\z(5)\\ $

weight8の証明

$ \begin{eqnarray*} \zeta(4)^2=\left(\sum_{0\f a\f b}+\sum_{0\f a=b}+\sum_{0\f b\f a} \right) \frac1{a^4b^4}=2\zeta(4,4)+\zeta(8)\\ \end{eqnarray*} $
より、
$\displaystyle \zeta(4,4)=\frac12(\zeta(4)^2-\zeta(8))=\frac1{12}\zeta(8) $
また、depth2、weight8の和公式より、
$\zeta(1,7)+\zeta(2,6)+\zeta(3,5)+\zeta(4,4)+\zeta(5,3)+\zeta(6,2)=\zeta(8) $
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(1,7)\\ &=&\zeta(8)-(\zeta(2,6)+\zeta(6,2) )-(\zeta(3,5)+\zeta(5,3) )-\zeta(4,4)\\ &=&\zeta(8)+\zeta(8)-\zeta(2)\zeta(6)+\zeta(8)-\zeta(3)\zeta(5)-\frac1{12}\zeta(8)\\ &=&\frac54\zeta(8)-\zeta(3)\zeta(5)\\ \end{eqnarray*} $
より、weight8は求まりました。
depth2、weight8のMZVは7つあるのに一覧表には2つしかありません。これは関形式が1つしかないからです。
($5\zeta(2,6)+2\zeta(3,5) $が求まるのみです。)
いくつかの方法を試したのですが、全て$5\zeta(2,6)+2\zeta(3,5) $に回帰しました。(実際に$\zeta(2,6) $等は求まらないそうです。)

weight9の証明

depth2、weight9の和公式より、
$\zeta(1,8)+\zeta(2,7)+\zeta(3,6)+\zeta(4,5)+\zeta(5,4)+\zeta(6,3)+\zeta(7,2)=\zeta(9) $
$ \begin{eqnarray*} &&\zeta(1,8)\\ &=&\zeta(9)-(\z(2,7)+\z(7,2))-(\z(3,6)+\z(6,3) )-(\z(4,5)+\z(5,4))\\ &=&4\zeta(9)-\zeta(2)\zeta(7)-\z(3)\z(6)-\z(4)\z(5) \end{eqnarray*} $
また、
$ \begin{eqnarray*} &&\z^*(2,7)\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^7}\sum_{a=1}^\infty \left(\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2b^7(a+b)^2}\\ &=&2L(1,6,2)+L(2,5,2)\\ &=&14\zeta(1,8)+7\zeta(2,7)+5\zeta(3,6)+4\zeta(4,5)+3\zeta(5,4)+2\zeta(6,3)\\ &=&7\zeta(2,7)+3\z(3,6)+\z(4,5)+ 56\z(9)-14\z(2)\z(7)-14\z(3)(6)-14\z(4)\z(5)+2\z(3)\z(6)-2\z(9)+3\z(4)\z(5)-3\z(9)\\ &=&7\zeta(2,7)+3\z(3,6)+\z(4,5)+51\zeta(9)-14\z(2)\z(7)-12\z(3)\z(6)-11\z(4)\z(5) \end{eqnarray*} $
より、
$7\zeta(2,7)+3\z(3,6)+\z(4,5)+51\zeta(9)-14\z(2)\z(7)-12\z(3)\z(6)-11\z(4)\z(5)=\zeta(2,7)+\z(9) $
$6\zeta(2,7)+3\z(3,6)+\z(4,5)=14\z(2)\z(7)+12\z(3)\z(6)+11\z(4)\z(5)-50\z(9)~~~~~~~~~~\ldots A $
さらに、
$ \begin{eqnarray*} &&\z^*(3,6)\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^6}\sum_{a=1}^\infty \left(\frac1{a^3}-\frac1{(a+b)^3} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3b^6(a+b)^3}\\ &=&3L(2,5,2)+L(3,3,3)\\ &=&42\zeta(1,8)+21\zeta(2,7)+11\zeta(3,6)+6\zeta(4,5)+3\zeta(5,4)\\ &=&21\zeta(2,7)+11\zeta(3,6)+3\zeta(4,5)+168\z(9)-42\z(2)\z(7)-42\z(3)\z(6)-42\z(4)\z(5)-3\z(9)+3\z(4)\z(5)\\ &=&21\zeta(2,7)+11\zeta(3,6)+3\zeta(4,5)+165\z(9) -42\z(2)\z(7)-42\z(3)\z(6)-39\z(4)\z(5) \end{eqnarray*} $
より、
$21\zeta(2,7)+11\zeta(3,6)+3\zeta(4,5)+165\z(9) -42\z(2)\z(7)-42\z(3)\z(6)-39\z(4)\z(5)=\zeta(3,6)+\zeta(9) $
$21\zeta(2,7)+10\zeta(3,6)+3\zeta(4,5) =42\z(2)\z(7)+42\z(3)\z(6)+39\z(4)\z(5)-164\zeta(9)~~~~~~~~~~\ldots B$
そして、
$ \begin{eqnarray*} &&\z^*(4,5)\\ &=&\sum_{b=1}^\infty \frac1{b^5}\sum_{a=1}^\infty \left(\frac1{a^4}-\frac1{(a+b)^4} \right)\\ &=&\sum_{0\f a,b} \frac{4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4}{a^4b^5(a+b)^4}\\ &=&4L(1,4,4)+6L(2,3,4)+4L(3,2,4)+L(4,1,4)\\ &=&70\zeta(1,8)+35\zeta(2,7)+15\zeta(3,6)+5\zeta(4,5)\\ &=&35\zeta(2,7)+15\zeta(3,6)+5\zeta(4,5)+280\zeta(9)-70\z(2)\z(7)-70\z(3)\z(6)-70\z(4)\z(5)\\ \end{eqnarray*} $
より、
$35\zeta(2,7)+15\zeta(3,6)+5\zeta(4,5)+280\zeta(9)-70\z(2)\z(7)-70\z(3)\z(6)-70\z(4)\z(5)=\z(4,5)+\z(9) $
$35\zeta(2,7)+15\zeta(3,6)+4\zeta(4,5)=70\z(2)\z(7)+70\z(3)\z(6)+70\z(4)\z(5)-279\z(9) ~~~~~~~~~~\ldots C$
$A,B,C$より、
$ \begin{cases} 6\zeta(2,7)+3\z(3,6)+\z(4,5)=14\z(2)\z(7)+12\z(3)\z(6)+11\z(4)\z(5)-50\z(9)~~~~~~~~~~\ldots A \\ 21\zeta(2,7)+10\zeta(3,6)+3\zeta(4,5) =42\z(2)\z(7)+42\z(3)\z(6)+39\z(4)\z(5)-164\zeta(9)~~~~~~~~~~\ldots B\\ 35\zeta(2,7)+15\zeta(3,6)+4\zeta(4,5)=70\z(2)\z(7)+70\z(3)\z(6)+70\z(4)\z(5)-279\z(9) ~~~~~~~~~~\ldots C \end{cases} $
これを解くと、
$ \d \z(2,7)=-\frac{37}2\z(9)+7\z(2)\z(7)+2\z(3)\z(6)+4\z(4)\z(5)\\ \d\z(3,6)=\frac{83}2\z(9)-21\z(2)\z(7)-6\z(4)\z(5)\\ \d\z(4,5)=-\frac{127}2\z(9)+35\z(2)\z(7)+5\z(4)\z(5) $
また、
$\z(5,4)=\z(4)\z(5)-\z(9)-\z(4,5)=\d\frac{125}2\z(9)-35\z(2)\z(7)-4\z(4)\z(5)$
$\z(6,3)=\z(3)\z(6)-\z(9)-\z(3,6)=-\d\frac{85}2\z(9)+21\z(2)\z(7)+\z(3)\z(6) +6\z(4)\z(5)$
$\z(7,2)=\z(2)\z(7)-\z(9)-\z(2,7)=\d\frac{35}2\z(9)-6\z(2)\z(7)-2\z(3)\z(6)-4\z(4)\z(5) $
よって、weight9は全て求まりました。

おわりに

weight9の計算量がとてつもなく多かったですね。この調子でweight10以上も……！！といきたいところですが、流石に計算量が多く力尽きてしまいます。weight9以下まで求めておけば日常生活で困ることはまずないと思います。やったね。