depth2,weight9以下のMZVを求める

はじめに

この記事では$\zeta (4,4)$や$\zeta (1,8)$などのdepthが2、weightが8以上のMZVをいくつか求めていきます。
しかし、全てを求めることはできませんでした。というのは、求まらないものがあるからです。後で詳しく書きますが、例えば$\zeta (2,6)$はMZVの有理数係数線形結合で表すことはできません。そのようなものは一覧表から外しています。
また、前回の記事( こちら )と同様の函数を使います。まだ見ていないという方は是非そちらから見てください。

一覧表

$$\begin{gathered} {\displaystyle \zeta (1,7)=\frac{5}{4}\zeta (8)-\zeta (3)\zeta (5)} \\ {\displaystyle \zeta (4,4)=\frac{1}{12}\zeta (8)} \\ \zeta (1,8)=4\zeta (9)-\zeta (2)\zeta (7)-\zeta (3)\zeta (6)-\zeta (4)\zeta (5) \\ {\displaystyle \zeta (2,7)=-\frac{37}{2}\zeta (9)+7\zeta (2)\zeta (7)+2\zeta (3)\zeta (6)+4\zeta (4)\zeta (5)} \\ {\displaystyle \zeta (3,6)=\frac{83}{2}\zeta (9)-21\zeta (2)\zeta (7)-6\zeta (3)\zeta (6)} \\ {\displaystyle \zeta (4,5)=-\frac{127}{2}\zeta (9)+35\zeta (2)\zeta (7)+5\zeta (4)\zeta (5)} \\ \zeta (5,4)={\displaystyle \frac{125}{2}\zeta (9)-35\zeta (2)\zeta (7)-4\zeta (4)\zeta (5)} \\ \zeta (6,3)=-{\displaystyle \frac{85}{2}\zeta (9)+21\zeta (2)\zeta (7)+\zeta (3)\zeta (6)+6\zeta (4)\zeta (5)} \\ \zeta (7,2)={\displaystyle \frac{35}{2}\zeta (9)-6\zeta (2)\zeta (7)-2\zeta (3)\zeta (6)-4\zeta (4)\zeta (5)} \end{gathered}$$

weight8の証明

$\begin{array}{r}\zeta (4{)}^2=(\sum _{0<a<b}+\sum _{0<a=b}+\sum _{0<b<a})\frac{1}{a^4{b}^4}=2\zeta (4,4)+\zeta (8)\end{array}$
より、
${\displaystyle \zeta (4,4)=\frac{1}{2}(\zeta (4{)}^2-\zeta (8))=\frac{1}{12}\zeta (8)}$
また、depth2、weight8の和公式より、
$\zeta (1,7)+\zeta (2,6)+\zeta (3,5)+\zeta (4,4)+\zeta (5,3)+\zeta (6,2)=\zeta (8)$
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (1,7)\\ & =& \zeta (8)-(\zeta (2,6)+\zeta (6,2))-(\zeta (3,5)+\zeta (5,3))-\zeta (4,4)\\ & =& \zeta (8)+\zeta (8)-\zeta (2)\zeta (6)+\zeta (8)-\zeta (3)\zeta (5)-\frac{1}{12}\zeta (8)\\ & =& \frac{5}{4}\zeta (8)-\zeta (3)\zeta (5)\end{array}$
より、weight8は求まりました。
depth2、weight8のMZVは7つあるのに一覧表には2つしかありません。これは関形式が1つしかないからです。
($5\zeta (2,6)+2\zeta (3,5)$が求まるのみです。)
いくつかの方法を試したのですが、全て$5\zeta (2,6)+2\zeta (3,5)$に回帰しました。(実際に$\zeta (2,6)$等は求まらないそうです。)

weight9の証明

depth2、weight9の和公式より、
$\zeta (1,8)+\zeta (2,7)+\zeta (3,6)+\zeta (4,5)+\zeta (5,4)+\zeta (6,3)+\zeta (7,2)=\zeta (9)$
$\begin{array}{rcl}& & \zeta (1,8)\\ & =& \zeta (9)-(\zeta (2,7)+\zeta (7,2))-(\zeta (3,6)+\zeta (6,3))-(\zeta (4,5)+\zeta (5,4))\\ & =& 4\zeta (9)-\zeta (2)\zeta (7)-\zeta (3)\zeta (6)-\zeta (4)\zeta (5)\end{array}$
また、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(2,7)\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^7}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{2ab+b^2}{a^2{b}^7(a+b{)}^2}\\ & =& 2L(1,6,2)+L(2,5,2)\\ & =& 14\zeta (1,8)+7\zeta (2,7)+5\zeta (3,6)+4\zeta (4,5)+3\zeta (5,4)+2\zeta (6,3)\\ & =& 7\zeta (2,7)+3\zeta (3,6)+\zeta (4,5)+56\zeta (9)-14\zeta (2)\zeta (7)-14\zeta (3)(6)-14\zeta (4)\zeta (5)+2\zeta (3)\zeta (6)-2\zeta (9)+3\zeta (4)\zeta (5)-3\zeta (9)\\ & =& 7\zeta (2,7)+3\zeta (3,6)+\zeta (4,5)+51\zeta (9)-14\zeta (2)\zeta (7)-12\zeta (3)\zeta (6)-11\zeta (4)\zeta (5)\end{array}$
より、
$7\zeta (2,7)+3\zeta (3,6)+\zeta (4,5)+51\zeta (9)-14\zeta (2)\zeta (7)-12\zeta (3)\zeta (6)-11\zeta (4)\zeta (5)=\zeta (2,7)+\zeta (9)$
$6\zeta (2,7)+3\zeta (3,6)+\zeta (4,5)=14\zeta (2)\zeta (7)+12\zeta (3)\zeta (6)+11\zeta (4)\zeta (5)-50\zeta (9)\dots A$
さらに、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(3,6)\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^6}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a^3}-\frac{1}{(a+b{)}^3})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{3ab(a+b)+b^3}{a^3{b}^6(a+b{)}^3}\\ & =& 3L(2,5,2)+L(3,3,3)\\ & =& 42\zeta (1,8)+21\zeta (2,7)+11\zeta (3,6)+6\zeta (4,5)+3\zeta (5,4)\\ & =& 21\zeta (2,7)+11\zeta (3,6)+3\zeta (4,5)+168\zeta (9)-42\zeta (2)\zeta (7)-42\zeta (3)\zeta (6)-42\zeta (4)\zeta (5)-3\zeta (9)+3\zeta (4)\zeta (5)\\ & =& 21\zeta (2,7)+11\zeta (3,6)+3\zeta (4,5)+165\zeta (9)-42\zeta (2)\zeta (7)-42\zeta (3)\zeta (6)-39\zeta (4)\zeta (5)\end{array}$
より、
$21\zeta (2,7)+11\zeta (3,6)+3\zeta (4,5)+165\zeta (9)-42\zeta (2)\zeta (7)-42\zeta (3)\zeta (6)-39\zeta (4)\zeta (5)=\zeta (3,6)+\zeta (9)$
$21\zeta (2,7)+10\zeta (3,6)+3\zeta (4,5)=42\zeta (2)\zeta (7)+42\zeta (3)\zeta (6)+39\zeta (4)\zeta (5)-164\zeta (9)\dots B$
そして、
$\begin{array}{rcl}& & {\zeta }^{\ast }(4,5)\\ & =& \sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{b^5}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a^4}-\frac{1}{(a+b{)}^4})\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{4a^{3}b+6a^2{b}^2+4a{b}^3+b^4}{a^4{b}^5(a+b{)}^4}\\ & =& 4L(1,4,4)+6L(2,3,4)+4L(3,2,4)+L(4,1,4)\\ & =& 70\zeta (1,8)+35\zeta (2,7)+15\zeta (3,6)+5\zeta (4,5)\\ & =& 35\zeta (2,7)+15\zeta (3,6)+5\zeta (4,5)+280\zeta (9)-70\zeta (2)\zeta (7)-70\zeta (3)\zeta (6)-70\zeta (4)\zeta (5)\end{array}$
より、
$35\zeta (2,7)+15\zeta (3,6)+5\zeta (4,5)+280\zeta (9)-70\zeta (2)\zeta (7)-70\zeta (3)\zeta (6)-70\zeta (4)\zeta (5)=\zeta (4,5)+\zeta (9)$
$35\zeta (2,7)+15\zeta (3,6)+4\zeta (4,5)=70\zeta (2)\zeta (7)+70\zeta (3)\zeta (6)+70\zeta (4)\zeta (5)-279\zeta (9)\dots C$
$A,B,C$より、
$\{\begin{array}{l}6\zeta (2,7)+3\zeta (3,6)+\zeta (4,5)=14\zeta (2)\zeta (7)+12\zeta (3)\zeta (6)+11\zeta (4)\zeta (5)-50\zeta (9)\dots A\\ 21\zeta (2,7)+10\zeta (3,6)+3\zeta (4,5)=42\zeta (2)\zeta (7)+42\zeta (3)\zeta (6)+39\zeta (4)\zeta (5)-164\zeta (9)\dots B\\ 35\zeta (2,7)+15\zeta (3,6)+4\zeta (4,5)=70\zeta (2)\zeta (7)+70\zeta (3)\zeta (6)+70\zeta (4)\zeta (5)-279\zeta (9)\dots C\end{array}$
これを解くと、
$$\begin{gathered} {\displaystyle \zeta (2,7)=-\frac{37}{2}\zeta (9)+7\zeta (2)\zeta (7)+2\zeta (3)\zeta (6)+4\zeta (4)\zeta (5)} \\ {\displaystyle \zeta (3,6)=\frac{83}{2}\zeta (9)-21\zeta (2)\zeta (7)-6\zeta (4)\zeta (5)} \\ {\displaystyle \zeta (4,5)=-\frac{127}{2}\zeta (9)+35\zeta (2)\zeta (7)+5\zeta (4)\zeta (5)} \end{gathered}$$
また、
$\zeta (5,4)=\zeta (4)\zeta (5)-\zeta (9)-\zeta (4,5)={\displaystyle \frac{125}{2}\zeta (9)-35\zeta (2)\zeta (7)-4\zeta (4)\zeta (5)}$
$\zeta (6,3)=\zeta (3)\zeta (6)-\zeta (9)-\zeta (3,6)=-{\displaystyle \frac{85}{2}\zeta (9)+21\zeta (2)\zeta (7)+\zeta (3)\zeta (6)+6\zeta (4)\zeta (5)}$
$\zeta (7,2)=\zeta (2)\zeta (7)-\zeta (9)-\zeta (2,7)={\displaystyle \frac{35}{2}\zeta (9)-6\zeta (2)\zeta (7)-2\zeta (3)\zeta (6)-4\zeta (4)\zeta (5)}$
よって、weight9は全て求まりました。

おわりに

weight9の計算量がとてつもなく多かったですね。この調子でweight10以上も……！！といきたいところですが、流石に計算量が多く力尽きてしまいます。weight9以下まで求めておけば日常生活で困ることはまずないと思います。やったね。