過去の自作問題&一般化

https://mathlog.info/articles/415

cosが\cosで出力できることを知らなかった頃の問題です。懐かしいですね。

この問題の想定解を紹介します。

(解答)まず、次の関数について考えます。
$\displaystyle f(z)=e^{\frac{1}{z}}$

この関数は$z=0$を極に持ち、その留数は$1$です。

$f(z)$を単位円の周上で(反時計回りに)積分すると、

$\displaystyle\int_Cf(z)dz=\int_{-\pi}^\pi f(e^{ix})ie^{ix}dx \\\displaystyle=i\int_{-\pi}^\pi \exp(e^{-ix}+ix)dx \\\displaystyle=i\int_0^\pi(\exp(e^{-ix}+ix)+\exp(e^{ix}-ix))dx \\\displaystyle=2i\int_0^\pi e^{\cos x}\cos(x-\sin x)dx$

また、留数定理より、$\displaystyle\int_Cf(z)dz=2i\pi$であるので、

$\displaystyle\int_0^\pi e^{\cos x}\cos(x-\sin x)dx=\pi$

これで解けました。

これで終わりにするのではなく、この解法をアレンジしてみましょう。

先ほどの証明において、$f(z)$を$e^{\frac{1}{z}}$から$e^{\frac{a}{z}}$に置き換えてみましょう。

留数定理より、積分の値は$2ia\pi$になります。

$\displaystyle\int_Cf(z)dz=\int_{-\pi}^\pi f(e^{ix})ie^{ix}dx \\\displaystyle=2i\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(x-a\sin x)dx$

従って、

$\displaystyle\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(x-a\sin x)dx=a\pi$

さらに一般化してみましょう。

$\displaystyle\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(bx-a\sin x)dx$

について考えます。

$\displaystyle\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(bx-a\sin x)dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi\exp(ae^{-ix}+ibx)dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\int_{-\pi}^\pi e^{i(b-n)x}dx \\\displaystyle=\sum_{n=0}^\infty\frac{a^n}{n!}\frac{e^{i(b-n)\pi}-e^{-i(b-n)\pi}}{2i(b-n)} \\\displaystyle=\sin b\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-a)^n}{(b-n)n!}$

一般化できました。($b$が自然数のときは$\sin b\pi/(b-n)=(-1)^n\pi$となるとします)
また、$b<0$であるときは
$\displaystyle=-\sin b\pi\sum_{n=0}^\infty\frac{(-a)^n}{n!}\int_0^1x^{n-b-1}dx \\\displaystyle=-\sin b\pi\int_0^1x^{-b-1}\sum_{n=0}^\infty\frac{(-a)^nx^n}{n!} \\\displaystyle=-\sin b\pi\int_0^1e^{-ax}x^{-b-1}dx$
とも表せます。

この方法を使うと、最初の問題は

$\displaystyle\int_0^\pi e^{\cos x}\cos(x-\sin x)dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\int_{-\pi}^\pi\exp(e^{-ix}+ix)dx \\\displaystyle=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!}\int_{-\pi}^\pi e^{i(1-n)x}dx \\\displaystyle=\pi+\sum_{n\neq1}\frac{e^{i(1-n)\pi}-e^{-i(1-n)\pi}}{2i(1-n)n!} \\=\pi$

とも解くことができます。
お読みいただきありがとうございました。