過去の自作問題&一般化

https://mathlog.info/articles/415

cosが\cosで出力できることを知らなかった頃の問題です。懐かしいですね。

この問題の想定解を紹介します。

(解答)まず、次の関数について考えます。
${\displaystyle f(z)=e^{\frac{1}{z}}}$

この関数は$z=0$を極に持ち、その留数は$1$です。

$f(z)$を単位円の周上で(反時計回りに)積分すると、

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_{C}f(z)dz={\int }_{-\pi }^{\pi }f(e^{ix})i{e}^{ix}dx} \\ {\displaystyle =i{\int }_{-\pi }^{\pi }\exp (e^{-ix}+ix)dx} \\ {\displaystyle =i{\int }_0^{\pi }(\exp (e^{-ix}+ix)+\exp (e^{ix}-ix))dx} \\ {\displaystyle =2i{\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}\cos (x-\sin x)dx} \end{gathered}$$

また、留数定理より、${\displaystyle {\int }_{C}f(z)dz=2i\pi }$であるので、

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}\cos (x-\sin x)dx=\pi }$

これで解けました。

これで終わりにするのではなく、この解法をアレンジしてみましょう。

先ほどの証明において、$f(z)$を$e^{\frac{1}{z}}$から$e^{\frac{a}{z}}$に置き換えてみましょう。

留数定理より、積分の値は$2ia\pi$になります。

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_{C}f(z)dz={\int }_{-\pi }^{\pi }f(e^{ix})i{e}^{ix}dx} \\ {\displaystyle =2i{\int }_0^{\pi }{e}^{a\cos x}\cos (x-a\sin x)dx} \end{gathered}$$

従って、

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{a\cos x}\cos (x-a\sin x)dx=a\pi }$

さらに一般化してみましょう。

${\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{a\cos x}\cos (bx-a\sin x)dx}$

について考えます。

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{a\cos x}\cos (bx-a\sin x)dx} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\exp (a{e}^{-ix}+ibx)dx} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(b-n)x}dx} \\ {\displaystyle =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{a^n}{n!}\frac{e^{i(b-n)\pi }-e^{-i(b-n)\pi }}{2i(b-n)}} \\ {\displaystyle =\sin b\pi \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-a{)}^n}{(b-n)n!}} \end{gathered}$$

一般化できました。($b$が自然数のときは$\sin b\pi /(b-n)=(-1{)}^n\pi$となるとします)
また、$b<0$であるときは
$$\begin{gathered} {\displaystyle =-\sin b\pi \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-a{)}^n}{n!}{\int }_0^1{x}^{n-b-1}dx} \\ {\displaystyle =-\sin b\pi {\int }_0^1{x}^{-b-1}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-a{)}^n{x}^n}{n!}} \\ {\displaystyle =-\sin b\pi {\int }_0^1{e}^{-ax}{x}^{-b-1}dx} \end{gathered}$$
とも表せます。

この方法を使うと、最初の問題は

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\int }_0^{\pi }{e}^{\cos x}\cos (x-\sin x)dx} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2}{\int }_{-\pi }^{\pi }\exp (e^{-ix}+ix)dx} \\ {\displaystyle =\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{i(1-n)x}dx} \\ {\displaystyle =\pi +\sum _{n\ne 1}\frac{e^{i(1-n)\pi }-e^{-i(1-n)\pi }}{2i(1-n)n!}} \\ =\pi \end{gathered}$$

とも解くことができます。
お読みいただきありがとうございました。