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過去の自作問題&一般化

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https://mathlog.info/articles/415

cosが\cosで出力できることを知らなかった頃の問題です。懐かしいですね。

この問題の想定解を紹介します。

(解答)まず、次の関数について考えます。
f(z)=e1z

この関数はz=0を極に持ち、その留数は1です。

f(z)を単位円の周上で(反時計回りに)積分すると、

Cf(z)dz=ππf(eix)ieixdx=iππexp(eix+ix)dx=i0π(exp(eix+ix)+exp(eixix))dx=2i0πecosxcos(xsinx)dx

また、留数定理より、Cf(z)dz=2iπであるので、

0πecosxcos(xsinx)dx=π

これで解けました。

これで終わりにするのではなく、この解法をアレンジしてみましょう。

先ほどの証明において、f(z)e1zからeazに置き換えてみましょう。

留数定理より、積分の値は2iaπになります。

Cf(z)dz=ππf(eix)ieixdx=2i0πeacosxcos(xasinx)dx

従って、

0πeacosxcos(xasinx)dx=aπ

さらに一般化してみましょう。

0πeacosxcos(bxasinx)dx

について考えます。

0πeacosxcos(bxasinx)dx=12ππexp(aeix+ibx)dx=12n=0ann!ππei(bn)xdx=n=0ann!ei(bn)πei(bn)π2i(bn)=sinbπn=0(a)n(bn)n!

一般化できました。(bが自然数のときはsinbπ/(bn)=(1)nπとなるとします)
また、b<0であるときは
=sinbπn=0(a)nn!01xnb1dx=sinbπ01xb1n=0(a)nxnn!=sinbπ01eaxxb1dx
とも表せます。

この方法を使うと、最初の問題は

0πecosxcos(xsinx)dx=12ππexp(eix+ix)dx=12n=01n!ππei(1n)xdx=π+n1ei(1n)πei(1n)π2i(1n)n!=π

とも解くことができます。
お読みいただきありがとうございました。

投稿日:20201110
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