一つの式を3通りに変形する

展開する

まず、この積を展開することを考えると、$x^{2nm}$次の項の係数は互いに異なる$\frac{1}{k^{2n}}$を$m$個とってきたときの積の総和となるので、$\zeta ([2n{]}^m)$となることがわかる。よって、
${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\zeta ([2n{]}^k)x^{2kn}}$がわかる。

sinの積で表す

とりぼなっちさんの こちらの記事 を参考にさせていただくと、
${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1-\frac{x^{2n}}{k^{2n}}=\prod _{k=1}^n\frac{\sin \left(e^{\pi ik/n}\pi x\right)}{e^{\pi ik/n}\pi x}}$
そして、${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}=\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^{4n}}{k^{4n}})÷(1-\frac{x^{2n}}{k^{2n}})}$
と表せるのでこの式を使うことができる。
${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}}$
${\displaystyle =\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{x^{4n}}{k^{4n}})÷(1-\frac{x^{2n}}{k^{2n}})}$
${\displaystyle =\prod _{k=1}^{2n}\frac{\sin \left(e^{\pi ik/2n}\pi x\right)}{e^{\pi ik/2n}\pi x}÷\prod _{k=1}^n\frac{\sin \left(e^{\pi ik/n}\pi x\right)}{e^{\pi ik/n}\pi x}}$
${\displaystyle =\prod _{k=1}^n\frac{\sin \left(e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x\right)}{e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x}}$
${\displaystyle =\frac{1}{e^{\pi in/2}{\pi }^n{x}^n}\prod _{k=1}^n\sin \left(e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x\right)}$
${\displaystyle =\frac{1}{i^n{\pi }^n{x}^n}\prod _{k=1}^n\sin \left(e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x\right)}$

対数を取る

${\displaystyle \prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}}$
${\displaystyle =\exp (\ln (\prod _{k=1}^{\mathrm{\infty }}1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}))}$
${\displaystyle =\exp (\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\ln (1+\frac{x^{2n}}{k^{2n}}))}$
$\ln (1+x)$は${\displaystyle \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}{x}^k}{k}}$と表すことができるので(マクローリン展開より)
${\displaystyle =\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s+1}{\left(\frac{x^{2n}}{k^{2n}}\right)}^s}{s}\right)}$
${\displaystyle =\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s+1}}{k^{2sn}s}{x}^{2sn}\right)}$
${\displaystyle =\exp \left(\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s+1}}{k^{2sn}s}{x}^{2sn}\right)}$
${\displaystyle =\exp \left(\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s+1}}{s}\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k^{2sn}}{x}^{2sn}\right)}$
${\displaystyle =\exp \left(\sum _{s=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{s+1}\zeta (2sn)}{s}{x}^{2sn}\right)}$

式を見比べて

${\displaystyle \frac{1}{i^n{\pi }^n{x}^n}\prod _{k=1}^n\sin \left(e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x\right)=\exp \left(\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}\zeta (2kn)}{k}{x}^{2kn}\right)}$
両辺対数を取ると、
${\displaystyle -n\ln \left(i\pi x\right)+\sum _{k=1}^n\ln (\sin \left(e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x\right))=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}\zeta (2kn)}{k}{x}^{2kn}}$
${\displaystyle \sin \left(x\right)=\frac{i}{2}(e^{-ix}-e^{ix})}$を使う。
$e^{\pi i(2k-1)/2n}\pi x$を${\alpha }_k$と置くと、

${\displaystyle -n\ln \left(2\pi x\right)+\sum _{k=1}^n\ln (e^{-i{\alpha }_k}-e^{i{\alpha }_k})=\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{k+1}\zeta (2kn)}{k}{x}^{2kn}}$
となる。

得られた式

$n=1$とすると

最後に

今回は広く浅く、という感じになってしまいましたが、$4$つの全く違いそうな式が同じ、というのは面白いですね！
　最後の$n=1$とした式はきれいですね！(普通に計算しても簡単に求められますが、、、)
　最後まで読んでいただきありがとうございます！