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イプシロンデルタ論法と位相空間の連続写像

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はじめに

このレジュメはYoutubeにて公開した動画 イプシロンデルタ論法と位相空間の連続写像 の内容をまとめたものです。レジュメ単体で読むよりも動画と合わせてご覧になることをお勧めします。なお、動画も本文章も位相空間や連続写像の定義について丁寧に説明するものではないことをご注意ください。

話の目標は二つの連続性の定義、つまりϵδ論法を用いた関数の連続性の定義と位相空間を用いた連続性の定義の関係を調べることです。位相空間や連続写像という概念については定義を確認する程度なので、これらについてご存知ない方は別の教科書などをお読みください。本文を読む上で必要になる集合の包含、冪集合、逆像という集合に関する基本的な言葉については 冪集合と逆像
にまとめたので、必要に応じて参照してください。

連続性と位相空間の定義

まずϵδ論法を用いた関数の連続性の定義を復習する。

関数の連続性

f:RRaRで連続であるとは、任意のϵ>0に対してあるδ>0が存在して、|xa|<δならば|f(x)f(a)|<ϵが成立すること。

次に位相空間の定義と連続写像の定義を確認しよう。

位相空間

集合Xとその冪集合P(X)の部分集合OP(X)の組(X,O)位相空間であるとは、

  1. XO,O

  2. 正の整数nに対してU1,,UnOならばi=1nUiO

  3. 任意の集合ΛΛで添え字付けられたOの要素の族{Uλ}λΛ[^1]に対してλΛUλO

位相空間の間の連続写像

位相空間(X1,O1),(X2,O2)の間の連続写像f:(X1,O1)(X2,O2)とは、写像f:X1X2であって、任意のUO2に対してUfによる逆像f1(U)O1であるものをいう。

集合Xに対して、位相空間(X,O)の定め方は一通りとは限らないことに注意しよう。

実数の位相

上は一般の位相空間について述べたが、今回はXを実数全体のなす集合Rとする。この集合に対してORP(R)を適切に定めることで、位相空間(R,OR)における連続写像の定義がϵδ論法による関数の連続性と結びつくことを確かめるのがこの文章の目標である。

実数の位相

Rの冪集合P(R)の部分集合ORP(R)を次のように定める。UORであることは任意のxUに対してあるϵ>0が存在して、(xϵ,x+ϵ)Uであること。

ここで、(xϵ,x+ϵ)という記号は開区間を表すもので、xϵより大きくx+ϵより小さい実数のなす集合のこと、つまり
(xϵ,x+ϵ)={yR|xϵ<y<x+ϵ}である。

より一般に、開区間(a,b)R(a,b)={xR|a<x<b}で定まるもの。

上の定義4で定めたORRの組(R,OR)が位相空間の定義2を満たすかどうかは証明が必要である。その前に上の定義4に慣れるため、開区間がORに属することを確かめよう。

開区間(a,b)={xR|a<x<b}Rを考える。

これがORに属することをいうために、任意のx(a,b)に対してあるϵ>0が存在して、(xϵ,x+ϵ)(a,b)であることをいう。xUとする。 このときa<x<bである。ϵ=min{xa,bx}とすると(xϵ,x+ϵ)(a,b)となる。

このϵが定義において存在を示すべきϵである。

さて、(R,OR)が位相空間の3条件を満たすことを確かめる。

上で定義したORを用いると(R,OR)が位相空間となる。

  1. RORであることは、いかなるx,ϵに対しても(xϵ,x+ϵ)Rなのでよい。ORであることは、U=に対する条件が空集合の要素に対する全称なので真。

  2. U1,,UnORとする。
    これに対してi=1nUiORを示す。xi=1nUiとする。
    このとき、全てのi=1,,nに対しxUiである。xUiであることから、あるϵi>0が存在して(xϵi,x+ϵi)Uiである。ϵ=mini=1,,nϵiとする。
    全てのiに対してϵϵiであるから
    $$\begin{eqnarray}
    (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset(x-\epsilon_i,x+\epsilon_i)\subset U_i\end{eqnarray}$$となる。
    よって、共通部分の定義から(xϵ,x+ϵ)i=1nUiとなる。
    以上より、このϵxに対して存在を示すべきものである。

  3. Oの要素の族{Uλ}λΛをとる。
    これに対してλΛUλORを示す。xλΛUλとする。
    このとき、あるλが存在してxUλとなる。UλOであるから、あるϵ>0が存在して(xϵ,x+ϵ)Uλとなる。
    和集合の定義からUλλΛUλなので、上と合わせて $$\begin{eqnarray}
    (x-\epsilon,x+\epsilon)\subset\bigcup_{\lambda\in\Lambda}U_\lambda\end{eqnarray}$$となる。
    よって、このϵxに対して存在を示すべきものである。

定義の同値性

さて、上で紹介した連続性の二つの定義が等価であることをいおう。実際には上で述べた関数の連続性の定義1は点aRにおける連続性なので、このままでは同値にならない。f:RRR全体での連続性を以下のように定義する。

関数の連続性

f:RRが連続であるとは、任意のaRに対して、以下が成立すること。

任意のϵ>0に対してあるδ>0が存在して、|xa|<δならば|f(x)f(a)|<ϵが成立すること。

位相空間の連続写像の定義をある点における連続性で定義することも可能だが、今回はこちらでやることにする。

位相空間の連続写像の定義2を改めて述べる。

位相空間の間の連続写像

位相空間(X1,O1),(X2,O2)の間の連続写像f:(X1,O1)(X2,O2)とは、写像f:X1X2であって、任意のUO2に対してf1(U)O1であるものをいう。

この二つの定義5,6の同値性を示すため、まずは関数の連続性の定義5を集合の言葉を用いて書き換えよう。そのために、絶対値を用いた記述を開区間を用いて書き直す。まず、x(aϵ,a+ϵ)|xa|<ϵは同値であることを説明する。|xa|<ϵは絶対値を外すと ϵ<xa<ϵとなり、この各辺にaを足すと
aϵ<x<a+ϵとなる。よって、これは
x(aϵ,a+ϵ)と同値。

同様に|f(x)f(a)|<ϵf(x)(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)と同値である。さらに、これを逆像を用いて書くと
xf1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))と同値でもある。

以上のことから、aRに対する条件である 任意のϵ>0に対してあるδ>0が存在して、|xa|<δならば|f(x)f(a)|ϵが成立する。は次のように書ける。
任意のϵ>0に対してあるδ>0が存在して、x(aδ,a+δ)ならばxf1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))が成立する。さらにこのxについての条件は集合の包含関係 (aδ,a+δ)(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)と同値である。したがって、ϵδ論法を用いた関数の連続性の定義5を集合の言葉を使って書き直すと次のようになる。

関数の連続性

f:RRが連続であるとは、任意のaRに対して、以下が成立すること。

任意のϵ>0に対してあるδ>0が存在して、 (aδ,a+δ)f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))が成立する。

この書き換えでは、位相空間の言葉は使っておらず、単に集合の記号を用いてϵδ論法による連続性を書き換えただけなことを再度注意しておく。

さて、この書き換えた定義7が位相空間を用いた定義6と同値なことを確かめよう。まずはf:(R,OR)(R,OR)が位相空間の間の連続写像であるとき、関数の連続性を満たすことを確かめる。

aRを取る。 ϵ>0を取る。

位相空間(R,OR)の定義より (f(a)ϵ,f(a)+ϵ)OR である。fが位相空間の間の連続写像なので、上の開区間(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)fによる逆像は
f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))OR を満たす。f(a)(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)なので、逆像の定義から
af1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ)) である。f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))ORでありaf1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))なので、ORの定義からあるϵ>0が存在して、(aϵ,a+ϵ)f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))である。 このϵδとすれば示すべき条件が満たされる。

逆に、f:RRが定義7の意味で連続関数であるとき、定義6の意味で位相空間の間の連続写像f:(R,OR)(R,OR)を定めることを示そう。

VORをとる。 これに対してf1(V)ORを示す。ORの定義から、任意のaf1(V)に対してあるϵ>0が存在して(aϵ,a+ϵ)f1(V)となることを言えばよい。af1(V)を取る。 逆像の定義からf(a)Vである。VORであるから、このaVに対してあるϵ>0が存在して
(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)V である。fが連続なので、このaϵに対してδ>0が存在して、(aδ,a+δ)f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))が成り立つ。(f(a)ϵ,f(a)+ϵ)Vであるから、逆像の性質より
f1((f(a)ϵ,f(a)+ϵ))f1(V)である。 上の包含を二つ合わせて (aδ,a+δ)f1(V) となる。

このδϵとすればよい。

改めて振り返ると、ORの定義は天下りに与えられたがこれこそがϵδ論法による連続性の定義と連続写像の概念が同値になるようなRの位相であるということができる。

実際にはORは開区間全体を含む最小の位相であるという言い方もできる。IP(R)を開区間全体で定まる集合とする。ただし端点は,+も許すことにする。つまり、UIであることはa,bR{±}が存在してU={xR|a<x<b}とかけることで定める。このIを用いて(R,I)を考えると、これは位相空間の定義を満たさない。例えばU1=(0,1),U2=(1,2)IだがU1U2=(0,1)(1,2)Iである。そこで、定義を満たすようにIに上のような集合を追加していく。そのようにしてできたP(X)の部分集合で定義を満たしかつ最小なものがORである。

投稿日:20201111
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