無限次元ノルム空間が局所コンパクトでないこと

適当な同型写像を考えることで$X = \mathbb R^n$としてよい. また, 一方のノルムは先ほどのユークリッドノルムとしてよい.$e_i\ (1 \le i \le n)$を$\mathbb R^n$の標準基底とする.

$\|\cdot\|'$を$\mathbb R^n$上のノルムとする. このとき, 任意の$a = (a_1, \dots a_n) \in \mathbb R^n$について

\begin{align} \left| \|x\|' - \|a\|' \right| &\le \|x-a\|' \\ &\le \sum_{i=1}^n |x_i - a_i| \|e_i\|' \\ &\le \max_{1\le i \le n} \|e_i\|' \sum_{i=1}^n |x_i - a_i| \\ &\le n \max_{1\le i \le n} \|e_i\|' \|x-a\| \\ &\to 0 \quad (x \to a) \end{align}

なので, $\|\cdot\|'$は（ユークリッドノルムから定まる位相に関して）連続である. よって, （ユークリッド位相における）Haine-Borelの定理（と最大値・最小値の定理）から$C_1 := \min_{\|x\| = 1} \|x\|'$と$C_2 := \max_{\|x\| = 1} \|x\|'$が存在する.（$C_1, C_2 \in (0, \infty)$となっていることに注意する）

このとき, 任意の$x \in \mathbb R^n$について,

$$\|x\|' = \|x\| \left\| \frac{1}{\|x\|} x \right\|' \in \left[ C_1\|x\|, C_2 \|x\| \right]$$

となることが, この$C_1, C_2$によって$\|\cdot\|$と$\|\cdot\|'$が同値であることが分かる.

（証明終）

$N \subseteq X$を原点の任意の近傍とする. 命題2より, $N$が点列コンパクトでないことを確かめればよい.

$\{x \in X : \|x\| < 2r \} \subset N$なる$r > 0$を取り, 点列$\{x_n\}_n \in X$を次のように（帰納的に）定める：

1. $\|x_1\| = r$なる$x_1 \in X$を取る.
2. $n$番目まで定まっているとする. このとき, $Y$を$\{x_1, \dots, x_n\}$で張られる$X$の部分空間とすると, $Y$は有限次元ノルム空間なので完備, 従って閉部分空間であり, $X$は無限次元なので$Y$は$X$の真部分空間である. そこで, Rieszの補題より$\|x - r^{-1}x_k\| > 1/2\ (1 \le k \le n), \|x\| = 1$なる$x \in X$を取ることが出来るので $x_{n+1} := rx$と定める.

このとき, $\|x_n\| = r < 2r\ (n \in \mathbb N)$より$\{x_n\}_n$は$N$内の点列であり, 任意の$m > n$について$\|x_m - x_n\| = r\|r^{-1}x_m - r^{-1}x_n\| > r/2$なので, 任意の部分列はCauhy列とならない（特に, $\{x_n\}_n$は収束部分列を持たない）. ゆえに, $N$は（点列）コンパクトでない.

よって, $N$の任意性より$X$は局所コンパクトでないことが分かる.

（証明終）

$x' \in X \setminus Y$をとり, $R := \inf_{y \in Y} \|x' - y\|$とする.（このとき, $Y$は閉なので$R > 0$となる）

そこで, 任意の$\varepsilon > 0$に対して, $\|x' - y'\| < R + \varepsilon$なる$y' \in Y$をとり, $x := \frac{1}{\|x' - y'\|}(x' - y')$とおく. すると,

\begin{align} \inf_{y \in Y} \|x - y\| &= \inf_{y \in Y} \left\|x - \frac{1}{\|x' - y'\|} y \right\| \\ &= \inf_{y \in Y} \left\| \frac{1}{\|x' - y'\|}(x' - y' - y) \right\| \\ &= \frac{\inf_{y \in Y} \left\| x' - (y' + y) \right\|}{\|x' - y'\|} \\ &= \frac{\inf_{y \in Y} \left\| x' - y \right\|}{\|x' - y'\|} \\ &> \frac{R}{R+\varepsilon} \end{align}

となる. $\varepsilon > 0$は任意なので, $\alpha \in (0, 1)$に応じて十分小さく取ることで, 所望の$x \in X$が得られる.

（証明終）