「任意に選んだ2数が互いに素である確率」を成り立たせる確率測度は存在するか？

(1)$q_1, q_2 \dots, q_n$は相異なる素数であるから，$\bigcap\limits_{i = 1}^n N_{q_i}$は$q_1 q_2 \dots q_n $の倍数全体，すなわち$N_{q_1 q_2 \dots q_n}$に等しい．

2. 一般に，$A_1, A_2, \dots, A_m \in \power{\setN} $に対して，包除原理
   $$\begin{eqnarray} \mu\left(\bigcup_{i=1}^m A_i \right) = \sum_{k = 1}^m (-1)^{k-1} \sum_{\substack{I \subset \{1, 2, \dots, m \}, \\ |I| = k} } \mu \left(\bigcap_{i \in I} A_i \right)\end{eqnarray}$$が成り立つ(右辺の内側の和は，$m$以下の自然数の集合$\{1, 2, \dots, m \}$の部分集合$I \subset \{1, 2, \dots, m \}$のうち要素数が$ k $であるもの全体にわたって和をとることを表す)．
   これを用いると，
   $$ \begin{eqnarray} \mu\left(\bigcup\limits_{i=1}^n N_{q_i} \right) = \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} \sum_{\substack{I \subset \{1, 2, \dots, n \}, \\ |I| = k} } \mu \left(\bigcap_{i \in I} N_{q_i} \right) \end{eqnarray} $$であり，(1)より
   $$ \begin{align} \mu\left(\bigcup_{i=1}^n N_{q_i} \right) &= \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} \sum_{\substack{I \subset \{1, 2, \dots, n \}, \\ |I| = k} } \mu \left(N_{\prod\limits_{i \in I} q_i} \right) \\ &= \sum_{k = 1}^n (-1)^{k-1} \sum_{\substack{I \subset \{1, 2, \dots, n \}, \\ |I| = k} } \prod_{i \in I} \frac{1}{q_i}\end{align}$$
   となる．
   ここで，$\prod\limits_{i=1}^n (1 - x_i) $の展開を考えると，
   $$ \begin{eqnarray} \prod_{i=1}^n (1 - x_i) = 1 + \sum_{k=1}^n (-1)^k \sum_{\substack{I \subset \{1, 2, \dots, n \}, \\ |I| = k} } \prod_{i \in I} x_i \end{eqnarray} $$
   であるから，
   $$ \begin{eqnarray} \mu\left(\bigcup_{i=1}^n N_{q_i} \right) = 1 - \prod_{i=1}^n \left(1 - \frac{1}{q_i}\right) \end{eqnarray} $$
   となる．

素数に小さい順に番号をつけて$P = \set{p_1, p_2, \dots } $とする．
$n \in \setN$に対して $A_n = \bigcup\limits_{i=n}^{\infty} N_{p_i} $とおく．
集合列$(A_n)_{n \in \setN}$は単調減少であり$\bigcap\limits_{n=1}^{\infty} A_n = \eset $である，すなわち$A_n \searrow \eset $．

$n \in \setN$に対して，測度の連続性(命題2)と命題4より
$$ \begin{align} \mu(A_n) &= \mu\left(\bigcup_{i=n}^{\infty} N_{p_i} \right) = \lim_{N \to \infty} \mu\left(\bigcup_{i=n}^N N_{p_i} \right) \\ &= \lim_{N \to \infty} \left(1 - \prod_{i=n}^N \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) \right) \end{align} $$
である．
$\lim\limits_{N \to \infty} \prod\limits_{i=n}^N \left(1 - \frac{1}{p_i} \right)$を求めたい．
まず$\prod\limits_{i=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_i} \right)$を求める．
これは，ゼータ関数のオイラー積表示より
$$ \begin{align} \prod_{i=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) &= \left(\prod_{i=1}^{\infty} \frac{1}{1 - \frac{1}{p_i}} \right)^{-1} \\ &= \left(\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \right)^{-1} = 0 \end{align} $$
である．
よって，
$$ \begin{align} \lim\limits_{N \to \infty} \prod\limits_{i=n}^N \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) &= \lim\limits_{N \to \infty} \left(\prod_{i=1}^{n-1}\left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \right)^{-1} \prod\limits_{i=1}^N \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) \\ &= \left(\prod_{i=1}^{n-1}\left(1 - \frac{1}{p_i}\right) \right)^{-1} \cdot 0 = 0 \end{align} $$
となるから，
$$ \begin{eqnarray} \mu(A_n) = \lim_{N \to \infty} \left(1 - \prod_{i=n}^N \left(1 - \frac{1}{p_i} \right) \right) = 1 - 0 = 1. \end{eqnarray} $$

これが任意の$n \in \setN $について成り立つから$\lim\limits_{n \to \infty} \mu(A_n) = 1 $となるが，いま$A_n \searrow \eset $であるから測度の連続性(命題1の4つ目の条件)に矛盾する．したがって，題意の条件を満たす確率測度$\mu$は存在しない．