MIT Integration Beeを解く 【MIT Integration Bee Qualifying-2023】
1.本ページでやること
今回はMIT Integration Bee 2023予選問題の解答と解説をしてみる。使用した関数、テクニックは以下でまとめた。 https://mathlog.info/articles/CMsARUspoc4FiCRFTArY
2.MIT Integration Beeについて
MIT Integration Beeとは、マサチューセッツ工科大学（MIT）で毎年1月に開催される、学生向けの積分計算コンテストのこと。
問題は、Qualifying(予選)、Regular Season(第二予選)、Quarterfinal(準々決勝)、Semifinal(準決勝)、Final(決勝)からなる。
もちろん難易度は決勝に行くにつれて難しくなる。
3.評価
筆者は問題を次のように評価した。(異論は認める)
★☆☆☆☆：数学Ⅱの知識が必要
★★☆☆☆：数学Ⅲの知識が必要
★★★☆☆：数学Ⅲを少し超える知識が必要
★★★★☆：大学での学習内容や鋭い推察が必要
★★★★★：変態的な発想やナーマギリ女神からの天啓が必要
※数学Ⅲを少し超える知識とは次のものを指すこととする。
- 逆三角関数 ($\arcsin{x} \,, \arccos{x} \,, \arctan{x}$など)
- 双曲線関数 ($\sinh{x} \,, \cosh{x} \,, \tanh{x}$など)
- 逆双曲線関数 ($\mathrm{arsinh}{x} \,, \mathrm{arcosh}{x} \,, \mathrm{artanh}{x}$など)
4.問題
・積分定数は$C$とする
・対数関数に関して、真数の符号を考えずに表記する
例）$\log{|x^2-1|} \to \log{(x^2-1)}$
・逆三角関数は「$arc$」、逆双曲線関数は「$ar$」を先頭につけることで表すものとする
例1）$\sin{x}$の逆関数 $\to$ $\arcsin{x}$
例2）$\cosh{x}$の逆関数 $\to$ $\mathrm{arcosh}{x}$
$\displaystyle I = \int x^{\frac{1}{\log{x}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int x^{\log_x{e}} ~dx \\ &=\int e ~dx \\ &=ex + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \sech{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{2}{e^x+e^{-x}} ~dx \\ &=2\int \frac{e^x}{e^{2x}+1} ~dx \end{align}
$t=e^x$と置くと $dt=e^x~dx$
\begin{align} I &=2\int \frac{1}{t^2+1} ~dt \\ &=2\arctan{t} + C \\ &=2\arctan{(e^x)} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{e^x}{(1+e^x)\log{(1+e^x)}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】置換積分$t=1+e^x$と置くと $dt=e^x~dx$
\begin{align} I &=\int \frac{1}{t\log{t}} ~dt \\ &=\log{(\log{t})} + C \quad \rm{【微分形接触】} \\ &=\log{(\log{(1+e^x)})} +C \end{align}
$\displaystyle I = \int (1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^2-x^3+x^4) ~dx$
解答・解説
【ポイント】数列の和を使ってスマートに解く初項$1$、公比$r$の等比数列の$n$項目までの和は、$\displaystyle \frac{r^n-1}{r-1}$と表される。
\begin{align} (1+x+x^2+x^3+x^4) &= \frac{x^5-1}{x-1} \quad \rm{【公比} ~ x ~ \rm{ 】} \\ (1-x+x^2-x^3+x^4) &= \frac{(-x)^5-1}{-x-1} = \frac{x^5+1}{x+1} \quad \rm{【公比} ~ -x ~ \rm{ 】} \end{align}
\begin{align} (1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x+x^2-x^3+x^4) &= \frac{x^5-1}{x-1} \cdot \frac{x^5+1}{x+1} \\ &=\frac{x^{10}-1}{x^2-1} \quad \rm{【公比} ~ x^2 ~ \rm{ 】}\\ &=1+x^2+x^4+x^6+x^8 \end{align}
\begin{align} I &= \int x^8+x^6+x^4+x^2+1 ~dx \\ &= \frac{1}{9}x^9 + \frac{1}{7}x^7 + \frac{1}{5}x^5 + \frac{1}{3}x^3 + x + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{4} \binom{x}{5} ~dx$
解答・解説
【ポイント】King Property\begin{align} I &=\int_{0}^{4} \frac{x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} ~dx \\ &=\frac{1}{5!} \int_{0}^{4} x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ~dx \end{align}
King Propertyより、 $x \mapsto (4+0-x) = 4-x$
\begin{align} I &=\frac{1}{5!} \int_{0}^{4} (4-x)(3-x)(2-x)(1-x)(-x) ~dx \\ &=-\frac{1}{5!} \int_{0}^{4} x(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ~dx \\ &=-I \\ I &= 0 \end{align}
$\displaystyle I = \int x+\sin{x}+x\cos{x}+\sin{x}\cos{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int x(1+\cos{x}) + \sin{x}(1+\cos{x}) ~dx \\ &=\int (x + \sin{x})(1 + \cos{x}) ~dx \\ &=\frac{1}{2}(x+\sin{x})^2 + C \quad \rm{【微分形接触】} \end{align}
$\displaystyle I = \int \sin^2{x}+\cos^2{x}+\tan^2{x}+\cot^2{x}+\sec^2{x}+\csc^2{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int 1 + \frac{1}{\cos^2{x}} - 1 + \frac{1}{\sin^2{x}} - 1 + \frac{1}{\cos^2{x}} + \frac{1}{\sin^2{x}} ~ dx \\ &=\int \frac{2}{\cos^2{x}} + \frac{2}{\sin^2{x}} -1 ~dx \\ &=2\tan{x} - 2\cot{x} -x + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{2\pi} \left\lfloor 2023\sin{x} \right\rfloor ~dx$
解答・解説
【ポイント】天井関数と床関数の性質を利用する\begin{align} I &= \int_{0}^{\pi} \left\lfloor 2023\sin{x} \right\rfloor ~dx + \int_{\pi}^{2\pi} \left\lfloor 2023\sin{x} \right\rfloor ~dx \\ J &= \int_{\pi}^{2\pi} \left\lfloor 2023\sin{x} \right\rfloor ~dx \end{align}
$t=x-\pi$と置くと $x=t+\pi$
$dx=dt \quad x:\pi \to 2\pi \quad t:0 \to \pi$
\begin{align} J &= \int_{0}^{\pi} \left\lfloor 2023\sin{(t+\pi)} \right\rfloor ~dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \left\lfloor -2023\sin{t} \right\rfloor ~dt \\ I &= \int_{0}^{\pi} \left\lfloor 2023\sin{x} \right\rfloor +\left\lfloor -2023\sin{x} \right\rfloor ~dx \end{align}
ここで天井関数と床関数の相互関係から、$ x \notin \mathbb{Z}$を満たす$x$について、
$\displaystyle \lfloor x \rfloor - \lceil x \rceil = \lfloor x \rfloor + \lfloor -x \rfloor = -1$ である。
また、整数となる点は幅が0(測度が0)であるから、定積分に影響しないため、
\begin{align} I &= \int_{0}^{\pi} (-1) ~dx \\ &= -\pi \end{align}
$\displaystyle I = \int (2\log{x}+1)e^{(\log{x})^2} ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分を色々試す$\displaystyle \left( e^{(\log{x})^2} \right)' = \left( \frac{2\log{x}}{x} \right)e^{(\log{x})^2}$
ここで、$x$で割られているのが邪魔だと考え、はじめから$x$を掛けてみる
$\displaystyle \left( xe^{(\log{x})^2} \right)' = e^{(\log{x})^2} + \left( 2\log{x} \right)e^{(\log{x})^2} = (2\log{x}+1)e^{(\log{x})^2}$
したがって、
\begin{align} I &=\int \frac{d}{dx} \left( xe^{(\log{x})^2} \right) ~dx \\ &=xe^{(\log{x})^2} +C \end{align}
$\displaystyle I = \int (1-x)^3+(x-x^2)^3+(x^2-1)^3 -3(1-x)(x-x^2)(x^2-1) ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$であるため、
$a=1-x ~,~ b=x-x^2 ~,~ c=x^2-1 $とすると、$a+b+c = 0$だから、
\begin{align} I &=\int 0 ~dx \\ &= 0 \end{align}
$\displaystyle I = \int_{-2023}^{2023} \underbrace{|||||x|-1|-1| \cdots |-1|}_{2023 ~ (-1)'s} ~dx$
解答・解説
【ポイント】一般化してから結果を導く$\displaystyle f_0(x) = |x| ~,~ f_n(x) = | f_{n-1}(x) - 1 | \quad (|x| \leq n)$という関数を考える。
正の実数$x$について、$x=t+s \quad t:x$の整数部分、$s:x$の小数部分とすると、
$t \leq n$では、$f_n(x)$に行き着く途中で$s$と$1-s$を繰り返すようになる。
これは$n-t$が偶数なら$s$、$n-t$が奇数なら$1-s$が最終的な値となる。
つまり、
\begin{align} f_n(x) &= s \quad \quad \quad ~ ~ ~ ( n-t \equiv 0 ~ \mod 2) \\ &= 1-s \quad \quad ( n-t \equiv 1 ~ \mod 2) \end{align}
という結果となる。
適当な整数$m ~(0 \leq m < n)$で、$m \to m+1$の間での$f_n(x)$の総和は、$m \to m+1$の幅が$1$であることを考慮して、
$n-m$が偶数なら、$\displaystyle \int_{0}^{1} s ~ds = \left[ \frac{1}{2}s^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$
$n-m$が奇数なら、$\displaystyle \int_{0}^{1} 1-s ~ds = -\left[ \frac{1}{2}(1-s)^2 \right]_0^1 = \frac{1}{2}$
となり、$m$の偶奇によらず一定であることがわかる。
さて、この区間が$0 \to 2023 $の$2023$区間が負数側も含めて$2$つあるので、
\begin{align} I &=2023 \cdot \frac{1}{2} \cdot 2 \\ &= 2023 \end{align}
$\displaystyle I = \int \sin^6{x} + \cos^6{x} + 3\sin^2{x}\cos^2{x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int (\sin^2{x} + \cos^2{x})^3 -3\sin^2{x}\cos^2{x}(\sin^2{x}+\cos^2{x}) + 3\sin^2{x}\cos^2{x} ~dx \\ &=\int 1 - 3\sin^2{x}\cos^2{x} + 3\sin^2{x}\cos^2{x} ~dx \\ &=\int 1 ~dx \\ &= x + C \end{align}
$\displaystyle I = \int (x+e+1)x^ee^x ~dx$
解答・解説
【ポイント】微分を色々試す$(x^ee^x)' = ex^{e-1}e^x+x^ee^x = (e+x)x^{e-1}e^x$
ここで、$x$の指数が$1$少ないことを見て、$x^{e+1}e^x$で始めることを考える
$(x^{e+1}e^x)' = (e+1)x^ee^x + x^{e+1}e^x = (e+1+x)x^ee^x$
したがって、
\begin{align} I &=\int \frac{d}{dx} (x^{e+1}e^x) ~dx \\ &= x^{e+1}e^x + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{2-x^2} + \sqrt{\frac{2x}{x+1}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】逆関数に気づく$\displaystyle y=\sqrt{\frac{2x}{x+1}} $とすると、$\displaystyle x=\frac{x^2}{2-x^2}$ で、
$x:0 \to 1 \quad y:0 \to 1$であるから、
$\displaystyle f(x) = \sqrt{\frac{2x}{x+1}}$とすれば、
\begin{align} I &=\int_{0}^{1} f(x) ~dx + \int_{f(0)}^{f(1)} f^{-1}(x) ~dx \\ &= 1f(1) - 0f(0) \\ &= 1 \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{1+2x^{2022}}{x+x^{2023}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する\begin{align} I &=\int \frac{1+2x^{2022}}{x(1+x^{2022})} ~dx \\ &=\int \frac{1}{x} + \frac{x^{2021}}{1+x^{2022}} ~dx \\ &=\log{x} + \frac{1}{2022}\log{(1+x^{2022})} + C \\ &=\frac{1}{2022}\log{(x^{2022}+x^{4044})} +C \end{align}
$\displaystyle I = \int 3\sin{20x}\cos{23x} + 20\sin{43x} ~dx$
解答・解説
【ポイント】式を整理する(積和公式)\begin{align} I &=\int \frac{3}{2}(\sin{43x}+\sin{(-3x)}) + 20\sin{43x} ~dx \\ &=\frac{1}{2} \int 43\sin{43x} - 3\sin{3x} ~dx \\ &=\frac{1}{2}(\cos{3x}-\cos{43x}) + C \\ &=\sin{20x}\sin{23x} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{0}^{1} \prod_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{1+x^{2^k}} \right) ~dx$
解答・解説
【ポイント】極限で式を簡単にする\begin{align} I &=\int_{0}^{1} \frac{1}{(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)\cdots} ~dx \\ &=\int_{0}^{1} \frac{1-x}{(1-x)(1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8)\cdots} ~dx \\ &=\lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \frac{1-x}{1-x^{2^{n+1}}} ~dx \end{align}
ここで、$x$の取る範囲は$(0,1)$であるから、$\displaystyle \lim_{n \to \infty} x^{2^{n+1}} = 0$となる。
したがって、
\begin{align} I &=\int_{0}^{1} 1-x ~dx \\ &=\left[ x - \frac{1}{2}x^2 \right]_0^1 \\ &= \frac{1}{2} \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{\sin{x}}{2e^x+\cos{x}+\sin{x}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】分母を無理やり分子に生み出す\begin{align} I &=\frac{1}{2} \int \frac{2e^x+\cos{x}+\sin{x}-(2e^x-\sin{x}+\cos{x})}{2e^x+\cos{x}+\sin{x}} ~ dx \\ &=\frac{1}{2} \int 1 - \frac{2e^x-\sin{x}+\cos{x}}{2e^x+\cos{x}+\sin{x}} ~ dx \\ &=\frac{x-\log{(2e^x+\cos{x}+\sin{x})}}{2} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int \frac{\log{(\frac{x}{\pi})}}{(\log{x})^{\log{(\pi e)}}} ~dx$
解答・解説
【ポイント】この形の積分を知っているか\begin{align} I &= \int \frac{\log{x}-\log{\pi}}{(\log{x})^{\log{\pi}+1}} ~dx \end{align}
ここで、$\displaystyle x(\log{x})^{\alpha}$について考える。
\begin{align} \displaystyle \left( x(\log{x})^{\alpha} \right)' &= (\log{x})^{\alpha} + x \cdot \frac{a}{x} \cdot (\log{x})^{\alpha -1} \\ &=(\log{x})^{\alpha -1}(\log{x} + \alpha) \end{align}
今回は$\alpha = -\log{\pi}$とすれば、成立するので、
\begin{align} I &= \int \frac{d}{dx} \left( x(\log{x})^{-\log{\pi}} \right) ~dx \\ &= \frac{x}{(\log{x})^{\log{\pi}}} + C \end{align}
$\displaystyle I = \int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} x^5+5x^4+10x^3+8x^2+x ~dx$
解答・解説
【ポイント】塊を意識してスムーズに$(x+1)^5 = x^5+5x^4+10x^3+10x^2+5x+1$であるから、
\begin{align} I &=\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x+1)^5 - (2x^2+4x+1) ~dx \\ &=\int_{-\frac{3}{2}}^{-\frac{1}{2}} (x+1)^5 - 2(x+1)^2 +1 ~dx \end{align}
$t=x+1$と置くと $dt=dx \quad x:-\frac{3}{2} \to -\frac{1}{2} \quad t:-\frac{1}{2} \to \frac{1}{2}$
\begin{align} I &=\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} t^5 - 2t^2 +1 ~dx \end{align}
ここで、$t^5$は奇関数、$-2t^2+1$は偶関数であるから、
\begin{align} I &=2\int_{0}^{\frac{1}{2}} -2t^2 +1 ~dx \\ &=2\left[ -\frac{2}{3}t^3 + t \right]_0^{\frac{1}{2}} \\ &=2\left( -\frac{1}{12} + \frac{1}{2} \right) \\ &=\frac{5}{6} \end{align}
参考文献
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