de Rham の定理への道1：滑らかな多様体の定義
勉強メモです。全体観を知りたい方は以下を参照。
de Rham の定理への道0：定理の概要と勉強ロードマップ
教科書は John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds(second edition) です。
ちなみにただの枠で囲んである部分は筆者の心の声です。雰囲気を伝えたいときや真面目じゃない内容のときに使っています。
このページの内容
- 滑らかな多様体の定義
滑らかな多様体の定義
本によって流儀があると思うので、基本的な定義をちゃんと記述しておきます。
位相空間$M$が以下をすべて満たすとき$n$次元位相多様体という。
- $M$はハウスドルフ空間である
- $M$は第二可算公理をみたす
- $M$は局所的に$n$次元ユークリッド空間と同相である：任意の$p\in M$に対してある開集合$p\in U\subset M, \hat U\subset \mathbb R^n$と同相写像$\phi :U \to \hat U $が存在する
同相写像$\phi :U \to \hat U $を（$p$周りの）チャートといい$(U, \phi)$と書くこともある。各点のチャートをすべて集めてきた$\{ (U_p, \phi_p)\}_{p\in M}$を$M$のアトラスという。
- ハウスドルフと第二加算公理の正式な定義は省略した。要するにある程度お行儀がよい空間だということ（第二可算公理関連は次の記事で復習予定）。
- 本当は次元は一意に定まること（定理1.2, p3）も示す必要があるが、まぁいいでしょう。
- 読み飛ばしたが「位相多様体なら基本群は可算」(命題1.16, p10)らしいです。第二可算公理が効いていて、へぇ～となった。
位相多様体 $M$ 上の滑らかな多様体の定義は、以下の段階を経て導入される。
1. 滑らかに両立するチャート
$M$の2つのチャート$(U,ϕ), (V,ψ)$に対し、共通部分 $U∩V=∅$ のとき
$$\psi \circ \phi^{-1} : \phi(U \cap V) \to \psi(U \cap V)$$
が $\mathbb R^n$の開集合間の微分同相写像であるとき、これら2つのチャートは滑らかに両立する（smoothly compatible）という。ここで、微分同相写像とは$C^{\infty}$級の全単射で、その逆写像も $C^{\infty}$級である写像のことをさす。
2. 滑らかなアトラス
$M$を覆うアトラス$\mathcal A={(U_α,ϕ_α)}_{α∈M}$が任意の2つのチャートが滑らかに両立するとき、$\mathcal A$を滑らかなアトラス（smooth atlas）という。
3. 滑らかな構造
$\mathcal A$の任意のチャートに対して、滑らかに両立するチャートが全て$\mathcal A$に含まれているとき、$\mathcal A$は極大滑らかなアトラス（maximal smooth atlas）という。この極大滑らかなアトラスを$M$上の滑らかな構造ともいう。
$\mathcal A$にこれ以上チャートを追加したら滑らかに両立しなくなる、つまり極大！というイメージ。
滑らかな多様体（smooth manifold）とは、位相多様体$M$とその上の滑らかな構造 $\mathcal A$の組$(M,\mathcal A)$のことである。
（3.滑らかな構造についての補足）
- 「滑らかなアトラス$\mathcal A$が与えられたとき、$\mathcal A$を含む極大滑らかなアトラスが一意に存在する」が成り立ちます（命題1.17, p13）。これがあるおかげで安心して滑らかな多様体を考えることができます。
- 共通する極大滑らかなアトラスを持つ$\mathcal A$, $\mathcal B$が与えられたとき、（集合としては違うものだが）$\mathcal A$, $\mathcal B$は滑らかな構造としては大した違いはない、と判断している、ともいえそうです。
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