Moritaのp進ガンマ関数3
$p$を奇素数とする. 前回の記事 の記法を引き続き用いる.
Maclaurin展開係数の一様評価
\begin{align}
G_n(x)=\frac{\Gamma_p^{(n)}(x)}{\Gamma_p(x)}
\end{align}
とする. この記号を用いると前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数
)の命題5の展開は
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}=\sum_{0\leq n}\frac{G_n(a)}{n!}x^n,\qquad |x|_p<1
\end{align}
と表される.
$n\geq 1$に対し,
\begin{align}
v_p(G_n(0))\geq -\left\lfloor \frac np\right\rfloor
\end{align}
が成り立つ.
前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数2
)の定理2
\begin{align}
\log_p\Gamma_p(x)&=\lambda_0x-\sum_{0< n}\frac{\lambda_n}{2n(2n+1)}x^{2n+1}
\end{align}
から始める. 同じ記事の定理4の議論から$v_p(G_1(0))\geq 0$であり, von Staudt-Clausenの定理から$v_p(B_{2m})\geq -1$であることを用いて,
\begin{align}
v_p((\log_p\Gamma_p)^{(n)}(0))&\geq\begin{cases}
0&& 0\leq n< p\\
-1&& p\leq n
\end{cases}\\
&\geq -\left\lfloor \frac np\right\rfloor
\end{align}
と評価できる.
\begin{align}
(\log_p\Gamma_p)'(x)&=G_1(x)\\
G_k'(x)&=G_{k+1}(x)-G_k(x)G_1(x)
\end{align}
より, 帰納法からある整数係数の$n-1$変数多項式$P$があって,
\begin{align}
(\log_p\Gamma_p)^{(n)}(x)&=G_n(x)+P(G_1(x),\dots,G_{n-1}(x))
\end{align}
と表され, 第2項に現れる任意の
\begin{align}
G_{i_1}(x)\cdots G_{i_r}(x)
\end{align}
の項の添字は$i_1+\cdots+i_r=n$を満たしている. $n$に関する帰納法を用いて, $i< n$である任意の$i$に対し$v_p(G_i(0))\geq -\left\lfloor \frac ip\right\rfloor$とすると
\begin{align}
v_p(G_{i_1}(0)\cdots G_{i_r}(0))&\geq -\sum_{j=1}^r\left\lfloor \frac {i_j}p\right\rfloor\\
&\geq -\left\lfloor \frac {n}p\right\rfloor
\end{align}
より
\begin{align}
v_p(P(G_1(0),\dots,G_{n-1}(0)))\geq -\left\lfloor \frac {n}p\right\rfloor
\end{align}
が分かる. よって,
\begin{align}
v_p(G_n(0))&\geq \min\{v_p((\log_p\Gamma_p)^{(n)}(x)),v_p(P(G_1(0),\dots,G_{n-1}(0)))\}\\
&\geq -\left\lfloor \frac np\right\rfloor
\end{align}
となるので, 示すべき等式を得る.
$a\in\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
v_p\left(G_n(a)\right)\geq -\left\lfloor \frac np\right\rfloor
\end{align}
が成り立つ.
前の記事(
Moritaのp進ガンマ関数2
)の定理4の証明で用いた式
\begin{align}
\Gamma_p^{(n)}(x+1)&=\begin{cases}
-x\Gamma_p^{(n)}(x)-n\Gamma_p^{(n-1)}(x)&&x\in\ZZ_p^{\times}\\
-\Gamma_p^{(n)}(x)&&x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
を
\begin{align}
\Gamma_p(x+1)&=\begin{cases}
-x\Gamma_p(x)&&x\in\ZZ_p^{\times}\\
-\Gamma_p(x)&&x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
で割ると
\begin{align}
G_n(x+1)&=\begin{cases}G_n(x)+\frac nxG_{n-1}(x)&& x\in\ZZ_p^{\times}\\
G_n(x) && x\in p\ZZ_p
\end{cases}
\end{align}
となる. よって, 補題1と$x$に関する帰納法により, $a$が自然数のとき
\begin{align}
v_p(G_n(a))\geq -\left\lfloor \frac np\right\rfloor
\end{align}
が成り立つ. 自然数全体は$\ZZ_p$において稠密であり, $G_n$は連続であるから$a\in\ZZ_p$に対しても上の評価が成り立つことが分かる.
定理2を用いると
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}=\sum_{0\leq n}\frac{G_n(a)}{n!}x^n,\qquad |x|_p<1
\end{align}
の展開係数についてはLegendreの公式を用いて,
\begin{align}
v_p(n!)=\sum_{0< r}\left\lfloor\frac n{p^r}\right\rfloor\leq \sum_{0< r}\frac n{p^r}=\frac{n}{p-1}
\end{align}
と評価できるので,
\begin{align}
v_p\left(\frac{G_n(a)}{n!}\right)&=v_p(G_n(a))-v_p(n!)\\
&\geq -\left\lfloor\frac n{p}\right\rfloor-v_p(n!)\\
&\geq -\left\lfloor\frac n{p}\right\rfloor-\frac{n}{p-1}\\
&\geq -n\left(\frac 1p+\frac 1{p-1}\right)
\end{align}
と評価できる. 最後の評価はLong-Ramakrishnaの論文に現れているものである. $n$によっては$\frac{G_n(a)}{n!}\notin\ZZ_p$となる場合もあるので, 任意の$r$に対し
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}\equiv \sum_{n=0}^{m-1}\frac{G_n(a)}{n!}x^n\pmod{p^m}
\end{align}
は一般には成り立たないが, 次のように素数$p$が大きい場合はこれが成り立つことが分かる.
$m\geq 1,\quad p\geq m+2,\quad a\in\ZZ_p$とする. このとき, $x\in p\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}\equiv \sum_{n=0}^{m-1}\frac{G_n(a)}{n!}x^n\pmod{p^m}
\end{align}
が成り立つ.
さきほどの評価より,
\begin{align}
v_p\left(\frac{G_n(a)}{n!}x^n\right)\geq n-\left\lfloor\frac n{p}\right\rfloor-v_p(n!)=:E_p(n)
\end{align}
である. まず, $n< p$ならば$E_p(n)=n$である. 次に$n\geq p$とする. $n=pq+r,\quad q\geq 1,\quad 0\leq r< p$とする. このとき
\begin{align}
v_p(n!)=q+v_p(q!)
\end{align}
であるから,
\begin{align}
E_p(n)&=pq+r-q-(q+v_p(q!))\\
&=(p-2)q+r-v_p(q!)
\end{align}
である. ここで, $v_p(q!)\leq q-1$であるから,
\begin{align}
E_p(n)&\geq (p-2)q+r-(q-1)\\
&=q(p-3)+r+1\\
&\geq p-2\\
&\geq m
\end{align}
よって, $m\leq n$ならばいずれの場合も$E_p(n)\geq m$である, つまり,
\begin{align}
v_p\left(\frac{G_n(a)}{n!}x^n\right)\geq m,\qquad n\geq m
\end{align}
となるから
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}=\sum_{0\leq n}\frac{G_n(a)}{n!}x^n
\end{align}
を$\mathrm{mod}\,\,p^m$することによって示すべき等式が得られる.
定理3の主張は一般に$m=p+1$の場合にはそのままでは成り立たないが, 以下のように補正された形で成り立つ.
$m=p-1,\quad a\in\ZZ_p$とする. このとき, $x\in p\ZZ_p$に対し,
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}\equiv \sum_{n=0}^{m-1}\frac{G_n(a)}{n!}x^n+\frac{p^{m-1}G_p(a)}{(p-1)!}x\pmod{p^m}
\end{align}
が成り立つ.
定理3の証明の記法$E_p(n)$を用いると, $n< p$のとき$E_p(n)=n$が成り立つことは同様である. 一方$n=p$のとき,
\begin{align}
E_p(p)=p-1-v_p(p!)=p-2
\end{align}
であるから例外となる. $n>p$ならば, 定理3と同様に$n=pq+r$としたとき$q\geq 2$または$r\geq 1$となるから,
\begin{align}
E_p(n)\geq q(p-3)+r+1\geq p-1=m
\end{align}
と評価できる. よって,
\begin{align}
\frac{\Gamma_p(a+x)}{\Gamma_p(a)}\equiv \sum_{n=0}^{m-1}\frac{G_n(a)}{n!}x^n+\frac{G_p(a)}{p!}x^p\pmod{p^m}
\end{align}
となる. ここで, $x=pt$とすると, Fermatの小定理より,
\begin{align}
\frac{G_p(a)}{p!}x^p&=\frac{p^pG_p(a)}{p!}t^p\\
&=\frac{p^mG_p(a)}{(p-1)!}t^p\\
&=\frac{p^mG_p(a)}{(p-1)!}(t^p-t)+\frac{p^mG_p(a)}{(p-1)!}t\\
&\equiv \frac{p^{m-1}G_p(a)}{(p-1)!}x\pmod{p^m}
\end{align}
となるから, これを代入して示すべきことが得られる.
