漸化式の極限の精密化

ある正の整数 $n$ に対して $f(a_n) = 0$ なら $a_{n + 1} = a_n$ が従うが, $a_n \to 0$ から $a_n = 0$ となり矛盾する. よって $f(a_n) \neq 0$ であることに注意する.
\begin{align*} \frac{1}{{a_{n + 1}}^{s - 1}} - \frac{1}{{a_n}^{s - 1}} &= \frac{1}{\{a_n - f(a_n)\}^{s - 1}} - \frac{1}{{a_n}^{s - 1}} \\ &= \frac{{a_{n}}^{s - 1} - \{ a_n - f(a_n) \}^{s - 1}}{{a_n}^{s - 1} \{a_n - f(a_n) \}^{s - 1}} \\ &= \frac{{a_{n}}^{s - 1} - \{ a_n - f(a_n) \}^{s - 1}}{{a_n}^{s - 2} f(a_n)} \cdot \frac{f(a_n)}{{a_n}^s} \cdot \frac{{a_n}^{s- 1}}{ \{ a_n - f(a_n) \}^{s - 1}} \\ &= \frac{1 - \left\{ 1 - \frac{f(a_n)}{a_n}\right\}^{s - 1}}{\frac{f(a_n)}{a_n}} \cdot \frac{f(a_n)}{{a_n}^s} \cdot \frac{1}{\left\{ 1 - \frac{f(a_n)}{a_n} \right\}^{s - 1}} \end{align*}
ここで
$$ \frac{f(a_n)}{a_n} = \frac{f(a_n)}{{a_n}^s} \cdot {a_n}^{s - 1} \to 0 \quad (n \to \infty) $$
となるので
$$ \frac{1}{{a_{n + 1}}^{s - 1}} - \frac{1}{{a_n}^{s - 1}} \to (s - 1) \alpha \quad (n \to \infty) $$
が従う. よってStolz-Cesàroの定理より
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n {a_n}^{s - 1}} = (s - 1) \alpha $$
が従う.

$b_n = 1/a_n$ とすると
$$ b_n - b_{n + 1} = b_n - \frac{b_n}{1 + b_n f({b_n}^{-1})} = \frac{{b_n}^2 f({b_n}^{-1})}{1 + b_n f({b_n}^{-1})} $$
となる. ここで
$$ b_n f({b_n}^{-1}) = {a_n}^{-1} f(a_n) = {a_n}^{s} f(a_n) \cdot {a_n}^{- 1 - s} \to 0 \quad (n \to \infty) $$
となるので
$$ \frac{{b_n}^2 f({b_n}^{-1})}{1 + b_n f({b_n}^{-1})} \cdot \frac{1}{{b_n}^{s + 2}} = \frac{{b_n}^{-s} f({b_n}^{-1})}{1 + b_n f({b_n}^{-1})} \to \alpha \quad (n \to \infty) $$
となるので定理2より直ちに従う.

(2)より十分大きいある自然数 $N$ が存在して$n > N$ ならば $a_n > 0$ である. また $n \to \infty$ の場合を考えているので, 以下では $n > N$ とする. まず, 実数値関数 $g(x)$ を
$$ g(x^{s + 1}) = - \log \{(x + e^{- f(x)})^{s + 1} - x^{s + 1} \} $$
を満たすように定める. このとき
\begin{align*} \exp \{- g({a_n}^{s + 1}) \} &= \{a_n + e^{- f(a_n)}\}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} \\ &= {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} \end{align*}
となる. $b_n = {a_n}^{s + 1}$ とすると
$$ b_{n + 1} = b_n + e^{- g(b_n)} $$
となる. ロピタルの定理から
$$ f(x) = \frac{\alpha}{s + 1} x^{s + 1} + o(x^{s + 1}) $$
となる. よって$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{e^{- f(x)}}{x} = 0$ と微分の定義式から
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^s e^{-f(x)}} {(x + e^{- f(x)})^{s + 1} - x^{s + 1}} = \lim_{x \to \infty} \left\{ \cfrac{ \left( 1 + \cfrac{e^{- f(x)}}{x}\right)^{s + 1} - 1 }{\cfrac{e^{- f(x)}}{x}} \right\}^{-1} = \dfrac{1}{s + 1} \end{align*}
となる. つまり
$$ \dfrac{1}{(x + e^{- f(x)})^{s + 1} - x^{s + 1}} = \frac{x^{- s} e^{f(x)}}{s + 1} + o(x^{- s} e^{f(x)}) $$
ゆえに
\begin{align*} \dfrac{d}{d x} g(x^{s + 1}) &= - \dfrac{(s + 1)(1 - f'(x) e^{-f(x)})(x + e^{-f(x)})^s -(s + 1)x^s} {(x + e^{-f(x)})^{s + 1} - x^{s + 1}} \\ &= - \{ x^{- s} e^{f(x)} + o(x^{-s} e^{f(x)})\} \cdot \{ (1 - f'(x) e^{- f(x)})(x^s + o(x^s)) - x^s\}\\ &= f'(x) + o(f'(x)) \\ &= \alpha x^s + o(x^s) \end{align*}
となり, 左辺が $(s + 1)x^s g'(x^{s + 1})$ となるので,
$$ \lim_{x \to \infty} g'(x) = \dfrac{\alpha}{s + 1} $$
が従う. また
\begin{align*} \dfrac{1}{b_{n + 2} - b_{n + 1}} - \dfrac{1}{b_{n + 1} - b_n} &= e^{g(b_{n + 1})} - e^{g(b_n)} \\ &= e^{g(b_n + e^{-g(b_n)})} - e^{g(b_n)} \\ &= \dfrac{e^{g(b_n + e^{-g(b_n)})-g(b_n)} - 1} {g(b_n + e^{-g(b_n)})-g(b_n)} \cdot \dfrac{g(b_n + e^{-g(b_n)})-g(b_n)}{e^{-g(b_n)}} \end{align*}
ここで, 平均値の定理より
$$ \lim_{x \to \infty} \frac{g(x + e^{- g(x)}) - g(x)}{e^{- g(x)}} = \lim_{x \to \infty} g'(x) = \frac{\alpha}{s + 1}$$
となる. 特に $g(b_n + e^{- g(b_n)}) - g(b_n) \to 0$ であるので微分の定義式から
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{e^{g(b_n + e^{-g(b_n)})-g(b_n)} - 1} {g(b_n + e^{-g(b_n)})-g(b_n)} = 1 $$
が従う. 以上から
$$ \lim_{n \to \infty} \left(\dfrac{1}{b_{n + 2} - b_{n + 1}} - \dfrac{1}{b_{n + 1} - b_n} \right)= \dfrac{\alpha}{s + 1} $$
となるので, Stolz-Cesàroの定理から
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n (b_{n + 1} - b_n)} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{\cfrac{1}{b_{n + 2} - b_{n + 1}} - \cfrac{1}{b_{n + 1} - b_n}}{(n + 1) - n} = \dfrac{\alpha}{s + 1} \end{align*}
となる. 再びStolz-Cesàroの定理から
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\log n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{b_{n + 1} - b_n}{\log (n + 1)- \log n} = \lim_{n \to \infty} \cfrac{n (b_{n + 1} - b_n)} {\log \left(1 + \cfrac{1}{n} \right)^n} = \dfrac{s + 1}{\alpha} \end{align*}
が従うので $b_n = {a_n}^{s + 1}$ より題意は示された.

条件(2)より十分大きい実数 $x$ に対して $f(x) > 0$ となる. より十分大きい自然数に対して $f(a_n) > 0$ となることに注意する.
以下では $n$ が十分大きいときを考える. 次のように関数 $\tilde{f}(x)$ を定める.
$$ \widetilde{f}(x^{t + 1}) = \left\{ x + \dfrac{f(x)}{x^t} \right\}^{t + 1} - x^{t + 1} = (t + 1) f(x) + o(f(x)) $$
このとき, 次の式が成立する.
$$ {a_{n + 1}}^{t + 1} = \left\{ a_n + \dfrac{f(a_n)}{{a_n}^t} \right\}^{t + 1} = {a_n}^{t + 1} + \widetilde{f}({a_n}^{t + 1}) $$
また $\widetilde{f}(x^{t + 1})$ を微分すると
\begin{align*} (t + 1) x^t \widetilde{f}'(x^{t + 1}) &= (t + 1) \left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} \left\{ x + \dfrac{f(x)}{x^t} \right\}^t - (t + 1) x^t \\ &= (t + 1)\left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} (x^t + o(x^t)) - (t + 1) x^t \\ &= (t + 1) f'(x) + o(x^t) \end{align*}
より
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^{t + 1}\widetilde{f}'(x^{t + 1}) }{ (\log x)^{s - 1} } = s \alpha \end{align*}

またこれより
$$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x \widetilde{f}'(x)}{(\log x)^{s - 1}} = \dfrac{s \alpha}{(t + 1)^{s - 1}} $$
が従う. また
$$ \widetilde{f}'(x^{t + 1}) = \left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^t - 1 $$
の両辺を微分して整理すると
\begin{align*} (t + 1) x^t \widetilde{f}''(x^{t + 1}) &= x^{- t - 2} [ \left\{ x f''(x) + f'(x) - t f'(x) \right\} x - (t + 1) \left\{ x f'(x) - t f(x) \right\} ] \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^t \\ &\quad + \left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} \cdot t \cdot \dfrac{x f'(x) - (t + 1) f(x)}{x^{t + 2}} \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^{t - 1} \\ &= \dfrac{ x^2 f''(x) - 2 t x f'(x) + t(t + 1) f(x) }{x^{t + 2}} \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^t \\ &\quad + \left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} \cdot t \cdot \dfrac{x f'(x) - (t + 1) f(x)}{x^{t + 2}} \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^{t - 1} \\ \end{align*}
よって
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^{2 t + 2} \widetilde{f}''(x^{t + 1}) }{ (\log x)^{s - 1} } &= \lim_{x \to \infty} \left[ \dfrac{ x^2 f''(x) - 2 t x f'(x) }{ (t + 1) (\log x)^{s - 1} } \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^t \right. \\ &\quad + \dfrac{ t x f'(x) }{ (t + 1) (\log x)^{s - 1} } \cdot \left\{ 1 + \dfrac{x f'(x) - t f(x)}{x^{t + 1}} \right\} \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^{t - 1} \\ &\quad \left. + \dfrac{t f(x)}{(\log x)^s} \cdot \dfrac{\log x}{x^{t + 1}} \cdot \{ (1 + t) f(x) - x f'(x) \} \cdot \left\{ 1 + \dfrac{f(x)}{x^{t + 1}} \right\}^{t - 1} \right] \\ &= \dfrac{- s \alpha - 2 t s \alpha + t s \alpha}{t + 1} = - s \alpha \end{align*}
これより
$$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 \widetilde{f}''(x)}{(\log x)^{s - 1}} = - \dfrac{s \alpha}{(t + 1)^{s - 1}} $$
以上から $t = 0$ のときのみ示せば良いことがわかる. より以下では $t = 0$ のとき成立することを示す. 次のように数列 $\{b_n\}$ を定める.
$$ b_n = (a_{n + 1} - a_n)^{\frac{1}{s}} = f(a_n)^{\frac{1}{s}} $$
ここで実数値関数 $g(x) = f(x)^{\frac{1}{s}}$ で定めると
$$ \lim_{x \to \infty} \dfrac{g(x)}{\log x} = \lim_{x \to \infty} \left\{ \dfrac{f(x)}{(\log x)^s} \right\}^{\frac{1}{s}} = \alpha^{\frac{1}{s}} $$
となる. また
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} x g'(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{x f'(x) f(x)^{\frac{1}{s} - 1}}{s} \\ &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{x f'(x)}{s (\log x)^{s - 1}} \left\{ \dfrac{f(x)}{(\log x)^s} \right\}^{\frac{1}{s} - 1} \\ &= \alpha^{\frac{1}{s}} \end{align*}
さらに
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} x^2 g''(x) &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2}{s} \left\{ f''(x) f(x)^{\frac{1}{s} - 1} + \left( \dfrac{1}{s} - 1 \right) f'(x)^2 f(x)^{\frac{1}{s} - 2} \right\} \\ &= \lim_{x \to \infty} \dfrac{1}{s} \left[ \dfrac{x^2 f''(x)}{(\log x)^{s - 1}} \left\{ \dfrac{f(x)}{(\log x)^{s}} \right\}^{\frac{1}{s} - 1} + \left( \frac{1}{s} - 1 \right) \cdot \dfrac{1}{\log x} \cdot \left\{ \dfrac{x f'(x)}{(\log x)^{s - 1}} \right\}^{2} \cdot \left\{ \dfrac{f(x)}{(\log x)^s} \right\}^{\frac{1}{s} - 2} \right] \\ &= - \alpha^{\frac{1}{s}} \end{align*}
となる.
また $xg'(x)$ の極限の式より十分大きい実数 $M$ が存在して $x > M$ のとき $g'(x) > 0$ となる. より $g(x)$ は狭義単調増加となり, $x > M$ の範囲で逆関数を持つ. このとき
$$ b_{n + 1} = g(a_{n + 1}) = g(a_n + f(a_n)) = g({b_n}^s + g^{- 1}(b_n)) $$
となる. また $g(x)$ は単調増加より
$$ g({x}^s + g^{- 1}(x)) - x = g({x}^s + g^{- 1}(x)) - g(g^{-1}(x)) > 0 $$
となる. より実数値関数 $h(x)$ を次のように定義できる.
$$ h(x) = - \log \{ g({x}^s + g^{- 1}(x)) - x \} $$
このとき
$$ b_{n + 1} = b_n + e^{- h(b_n)} $$
となるので $h'(x)$ の極限を調べれば良い.
$$ h'(x) = - \dfrac{\{s x^{s - 1} + (g^{- 1})'(x)\} g'({x}^s + g^{- 1}(x)) - 1} {g({x}^s + g^{- 1}(x)) - x} $$
$y = g^{-1}(x)$ とすると $x \to \infty$ のとき $y \to \infty$ で
$$ h'(x) = - \dfrac{ \left\{s g(y)^{s - 1} + \dfrac{1}{g'(y)}\right\} g'(g(y)^s + y) - 1} {g(g(y)^s + y) - g(y)} $$
となる. ここで平均値の定理より
$$ \dfrac{g(g(y)^s + y) - g(y)}{g(y)^s} = g'(c_1(y)) $$
かつ $y < c_1(y) < y + g(y)^s$ となる実数 $c_1(y)$ が存在する. このとき
$$ 1 < \dfrac{c_1(y)}{y} < 1 + \dfrac{g(y)^s}{y} $$
で
$$ \lim_{y \to \infty} \dfrac{g(y)^s}{y} = \lim_{y \to \infty} \left\{\dfrac{g(y)}{\log y} \right\}^s \cdot \dfrac{(\log y)^s}{y} = 0 $$
よって挟み撃ちの原理より
$$ \lim_{y \to \infty} \dfrac{c_1(y)}{y} = 1 $$
となる. よって $y \to \infty$ のとき $c_1(y) \to \infty$ に注意すると
\begin{align*} \lim_{y \to \infty} \dfrac{y}{(\log y)^s} \{ g(g(y)^s + y) - g(y) \} &= \lim_{y \to \infty} \dfrac{y}{c_1(y)} \cdot \left\{ \dfrac{g(y)}{\log y} \right\}^s \cdot c_1(y) g'(c_1(y)) \\ &= \alpha^{\frac{1}{s} + 1} \end{align*}
また
\begin{align*} \lim_{y \to \infty} \dfrac{y}{(\log y)^s} \cdot s g(y)^{s - 1} g'(g(y)^s + y) &= \lim_{y \to \infty} s \cdot \{g(y)^s + y\} g'(g(y)^s + y) \cdot \dfrac{y}{g(y)^s + y} \cdot \dfrac{1}{\log y} \cdot \left\{ \dfrac{g(y)}{\log y} \right\}^{s - 1} \\ &= 0 \end{align*}
となる. また再び平均値の定理から
$$ \dfrac{g'(g(y)^s + y) - g'(y)}{g(y)^s} = g''(c_2(y)) $$
かつ $y < c_2(y) < y + g(y)^s$ となる実数 $c_2(y)$ が存在する. このとき先程と同様にして
$$ \lim_{y \to \infty} \dfrac{c_2(y)}{y} = 1 $$
が従う. よって
\begin{align*} \lim_{y \to \infty} \dfrac{y}{(\log y)^s} \left\{ \dfrac{g'(g(y)^s + y)}{g'(y)} - 1 \right\} &= \lim_{y \to \infty} \dfrac{y}{(\log y)^s} \cdot \dfrac{g(y)^s}{g'(y)} \cdot \dfrac{g'(g(y)^s + y) - g'(y)}{g(y)^s} \\ &= \lim_{y \to \infty} \left\{ \dfrac{g(y)}{\log y} \right\}^s \cdot \dfrac{1}{y g'(y)} \cdot \left\{ \dfrac{y}{c_2(y)} \right\}^2 \cdot c_2(y)^2 g''(c_2(y)) \\ &= - \alpha \end{align*}
となる. 以上から
\begin{align*} \lim_{x \to \infty} h'(x) &=\lim_{y \to \infty} - \dfrac{ \left\{ s g(y)^{s - 1} + \dfrac{1}{g'(y)} \right\} g'(g(y)^s + y) - 1 }{ g(g(y)^s + y) - g(y) } \\ &=\lim_{y \to \infty} - \dfrac{y}{(\log y)^s} \left\{ s g(y)^{s - 1} g'(g(y)^s + y) + \dfrac{g'(g(y)^s + y)}{g'(y)} - 1 \right\} \left[ \dfrac{y}{(\log y)^s} \left\{ g'(g(y)^s + y) - g(y) \right\} \right]^{- 1} \\ &= \alpha^{- \frac{1}{s}} \end{align*}
よって定理4より
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{b_n}{\log n} = \alpha^{\frac{1}{s}} $$
となる. $b_n = (a_{n + 1} - a_n)^{\frac{1}{s}}$ より
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1} - a_n}{(\log n)^s} = \alpha $$
となる. ここで次の極限を考える.
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{ (n + 1) \{\log(n + 1)\}^s - n (\log n)^s }{ (\log n)^s } $$
平均値の定理より $n < c_n < n + 1$ なる実数 $c_n$ が存在して
$$ (n + 1) \{\log(n + 1)\}^s - n (\log n)^s = (\log c_n)^s + s (\log c_n)^{s - 1} $$
ここで, 挟み撃ちの原理より $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \dfrac{c_n}{n} = 1$ となることに注意すると
$$ \lim_{n \to \infty} \dfrac{\log c_n}{\log n} = \lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\log n} \left( \log n + \log \dfrac{c_n}{n} \right) = 1 $$
が従うので
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{ (n + 1) \{\log(n + 1)\}^s - n (\log n)^s }{ (\log n)^s } &= \lim_{n \to \infty} \left\{ \left( \dfrac{\log c_n}{\log n} \right)^s + \dfrac{s}{\log n} \cdot \left( \dfrac{\log c_n}{\log n} \right)^{s - 1} \right\} \\ &= 1 \end{align*}
よってStolz-Cesàroの定理より
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_n}{n (\log n)^s} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{ a_{n + 1} - a_n }{ (n + 1) \{\log(n + 1)\}^s - n (\log n)^s } 　\\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{a_{n + 1} - a_n}{(\log n)^s} \cdot \dfrac{ (\log n)^s }{ (n + 1) \{\log(n + 1)\}^s - n (\log n)^s } \\ &= \alpha \end{align*}
となるので題意は示された.

ロピタルの定理などから次の式が従うことに注意する.
$$ \lim_{x \to 0} \dfrac{ (1 + x)^{s + 1} - 1 - (s + 1) x }{x^2} = \dfrac{s (s + 1)}{2} $$
次にそれぞれの場合について考えていく.
(1)$t < s + 1$ のとき
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} {a_n}^t \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} &= \lim_{n \to \infty} \left[ \cfrac{ \left\{ 1 + \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^{s + 1} - 1 - (s + 1) \cdot \cfrac{f(a_n)}{a_n} }{ \left\{ \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^2 } \cdot {a_n}^{s + t - 1} f(a_n)^2 + (s + 1) {a_n}^t \{ {a_n}^s f(a_n) - \alpha \} \right] \\ &= (s + 1) \beta \end{align*}
より
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} n^{\frac{t}{s + 1}} \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} &= \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac{{a_n}^{s + 1}}{n} \right)^{- \frac{t}{s + 1}} {a_n}^t \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} \\ &= \{ (s + 1) \alpha \}^{- \frac{t}{s + 1}} \cdot (s + 1) \beta \end{align*}
となるのでStolz-Cesàroの定理より
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{ {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha n }{ n^{1 - \frac{t}{s + 1}} } &= \lim_{n \to \infty} [ \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - (s + 1) \alpha (n + 1) \} - \{ {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha n \} ] \cdot \{ (n + 1)^{1 - \frac{t}{s + 1}} - n^{1 - \frac{t}{s + 1}} \}^{- 1} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{ n^{- \frac{t}{s + 1}} }{ (n + 1)^{1 - \frac{t}{s + 1}} - n^{1 - \frac{t}{s + 1}} } \cdot n^{\frac{t}{s + 1}} \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} \\ &= \dfrac{(s + 1)^2 \beta \{ (s + 1) \alpha \}^{- \frac{t}{s + 1}} }{s - t + 1} \end{align*}
となる. この式の両辺を $s + 1$ 乗することにより示された.
(2)$t = s + 1$ のとき
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} {a_n}^{s + 1} \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} &= \lim_{n \to \infty} \left[ \cfrac{ \left\{ 1 + \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^{s + 1} - 1 - (s + 1) \cdot \cfrac{f(a_n)}{a_n} }{ \left\{ \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^2 } \cdot {a_n}^{2 s} f(a_n)^2 + (s + 1) {a_n}^{s + 1} \{ {a_n}^s f(a_n) - \alpha \} \right] \\ &= \dfrac{s (s + 1)}{2} \cdot \alpha^2 + (s + 1) \beta \end{align*}
よって
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} n \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{{a_n}^{s + 1}} \cdot {a_n}^{s + 1} \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} \\ &= \dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{s \alpha}{2} \end{align*}
となるのでStolz-Cesàroの定理より
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \dfrac{ {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha n }{\log n} &= \lim_{n \to \infty} [ \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - (s + 1) \alpha (n + 1) \} - \{ {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha n \} ] \cdot \{\log (n + 1) - \log n\}^{-1} \\ &= \lim_{n \to \infty} \dfrac{ n \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} }{ \log \left(1 + \dfrac{1}{n} \right)^n } \\ &= \dfrac{\beta}{\alpha} + \dfrac{s \alpha}{2} \end{align*}
より示された.
(3)$t > s + 1$ のとき
\begin{align*} \lim_{n \to \infty} {a_n}^{s + 1} \{ {a_{n + 1}}^{s + 1} - {a_n}^{s + 1} - (s + 1) \alpha \} &= \lim_{n \to \infty} \left[ \cfrac{ \left\{ 1 + \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^{s + 1} - 1 - (s + 1) \cdot \cfrac{f(a_n)}{a_n} }{ \left\{ \cfrac{f(a_n)}{a_n} \right\}^2 } \cdot {a_n}^{2 s} f(a_n)^2 + (s + 1) {a_n}^{s + 1} \{ {a_n}^s f(a_n) - \alpha \} \right] \\ &\!\!\!\!\!= \dfrac{s (s + 1)}{2} \cdot \alpha^2 \end{align*}
となる. あとは(2)と同様にすると示される.