Op.6-1 (Feynman's trickを用いる)

求める定積分を $J$ とおく。
$$J = \int_{0}^{\infty} \frac{(\ln x)^2}{1+x^2} dx$$
関数 $f(x, a) = \dfrac{x^a}{1+x^2}$ を定義し、パラメータ $a$ を含む積分 $I(a)$ を考える。
$$I(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{x^a}{1+x^2} dx \quad (-1 < a < 1)$$
ここで、$a=0$ の近傍で $a$ による2回微分と積分の順序交換が可能であることを、ルベーグの優収束定理を用いて厳密に示す。
任意の $\delta$ ($0 < \delta < 1$) をとり、閉区間 $K = [-\delta, \delta]$ に属する $a$ を考える。$f(x, a)$ の $a$ に関する1階および2階偏導関数は
$$\frac{\partial f}{\partial a}(x, a) = \frac{x^a \ln x}{1+x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial a^2}(x, a) = \frac{x^a (\ln x)^2}{1+x^2}$$
である。
$a \in K$ のとき、$x > 0$ に対して $x^a \le x^{-\delta} + x^\delta$ が成り立つため、各偏導関数の絶対値は $a$ に依存しない関数によって次のように優関数で評価できる。
$$\left| \frac{\partial f}{\partial a}(x, a) \right| \le \frac{(x^{-\delta} + x^\delta) |\ln x|}{1+x^2} := g_1(x)$$
$$\left| \frac{\partial^2 f}{\partial a^2}(x, a) \right| \le \frac{(x^{-\delta} + x^\delta) (\ln x)^2}{1+x^2} := g_2(x)$$
ここで、$x \to 0$ において $g_2(x) = O(x^{-\delta} (\ln x)^2)$、$x \to \infty$ において $g_2(x) = O(x^{\delta-2} (\ln x)^2)$ であり、$0 < \delta < 1$ より広義積分 $$\int_{0}^{\infty} g_1(x) dx$$ および $$\int_{0}^{\infty} g_2(x) dx$$はともに収束する。
したがって、ルベーグの優収束定理より、$a \in K$ において積分記号下の微分が2回まで正当化される。
$$I''(a) = \int_{0}^{\infty} \frac{\partial^2}{\partial a^2} \left( \frac{x^a}{1+x^2} \right) dx = \int_{0}^{\infty} \frac{x^a (\ln x)^2}{1+x^2} dx$$
以上より、$a=0$ のとき $I''(0) = J$ が厳密に保証される。
$I(a)$に対して、$x = \tan\theta$ と置換すると $dx = \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$
$$I(a) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{(\tan\theta)^a}{1+\tan^2\theta} \cdot \dfrac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^a\theta \cos^{-a}\theta d\theta$$
これはベータ関数
$$B(p, q) = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin^{2p-1}\theta \cos^{2q-1}\theta d\theta$$ において $p = \dfrac{a+1}{2}, q = \dfrac{1-a}{2}$ としたものである。ガンマ関数との関係および相反公式を用いて計算する。
$$I(a) = \frac{1}{2} B\left(\frac{a+1}{2}, \frac{1-a}{2}\right) = \frac{1}{2} \frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{2}\right) \Gamma\left(\frac{1-a}{2}\right)}{\Gamma(1)}$$
$$I(a) = \frac{1}{2} \frac{\pi}{\sin\left(\pi \frac{a+1}{2}\right)} = \frac{\pi}{2 \cos\left(\frac{\pi a}{2}\right)}$$
$I(a)$ を $a$ について微分する。
$$I'(a) = \frac{\pi^2}{4} \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi a}{2}\right)} \cdot\tan\left(\frac{\pi a}{2}\right)$$
$$I''(a) = \frac{\pi^3}{8} \frac{1}{\cos\left(\frac{\pi a}{2}\right)} \left\{\tan^2\left(\frac{\pi a}{2}\right) + \frac{1}{\cos^2\left(\frac{\pi a}{2}\right)}\right\}$$
正当化された通り、$a=0$ を代入して求める定積分の値を得る。$\cos(0) = 1, \tan(0) = 0$ であるから、
$$J = I''(0) = \frac{\pi^3}{8} \cdot 1 \cdot (0 + 1) = \frac{\pi^3}{8}$$
以上より、
$$\therefore\quad J=\frac{\pi^3}{8}$$