第八回目の今回からは
話がガラッと変わってしまう。
前回までにみたように、
2階常微分方程式を満たすような直交多項式は、
Jacobi、及びその極限であるLaguerre、Hermite、そしてBesselの4つに限られてしまう
という事実があった。
しかし、直交多項式はこれで全てなんていうことはない。
むしろ逆に、直交多項式になる三項間漸化式を満たしているものはどんなものでも直交多項式になる。
もう少し広いクラスの直交多項式はないのであろうか。
歴史的に見ると、2階ODE型の直交多項式の分類が終わる前から
それ以外の直交多項式はもちろん知られていた。
今回はそんな中の一つの例を挙げる。
そもそも今まで定義されていたものは、連続的な直交多項式と呼ばれるものに相当する。
すなわち関数同士の内積が、ある種の積分で定義されていた。
となるような区間
しかし、よく考えたら
別に内積って積分である必要はない。
そもそも我々が内積と聞いて最も(現実的に)身近にあるものと言えば平面・空間ベクトルが挙げられるだろう。
その場合の内積は、積分ではなく、有限和であった。
区間
自然と内積は積分から有限和に変わることがわかる。
ということで、離散直交多項式を定義する。
すなわち、ある実数列
とディラックのデルタ関数の高々可算個の和で書けているものとする。
(超簡単に言うと、
多項式列
を満たすこととする。
確率
これらコイン
この確率変数
で与えられる。この確率の値が二項係数で与えられることから二項分布と名付けられている。
この二項分布を重さ関数とする直交多項式を考えてみたい。
すなわち関数
として定め、多項式の空間とこの内積に対してシュミットの直交化法を行うことを考える。
このとき確率変数
ということで以下、二項分布から誘導される内積に関する
まとめると
が基底となりそうな直交多項式である。(実は正しくないのですぐ後で訂正する)
これは簡単なことで、今の二項分布に関する内積は
と
すなわちそれらを補間する3次以下の多項式で代表されてしまう。
(Lagrange補間多項式、記事(4)のガウス求積法のところを参照せよ)
・・・ではなぜ逆に
よくよく見ると
となっているので、
あれ。多項式としてゼロで補間されるじゃん。
ということで、この
まとめると、
となっている。
さて、
モーメント法はやっぱり現実的ではない。
Rodriguesの公式・・・は、ないわけではないんだけど、(遠い目)
いきなりそれを持ってくるのもやや天下り感。
ここは一般項を先に与えることとしよう。
二項分布
Krawtchouk多項式
一見わかりにくいが、二項係数部に変数
と確かに正規化を除いて上の実験結果と一致。
とりあえず今定めたKrawtchouk多項式
上で定めた
すなわち、
さらに二乗ノルムに関しては
のように計算することができる。
(特に
さてこれをどうやって示せばいいのか。
そもそもKrawtchouk多項式の時点で
地獄が待っている。
母関数という概念を用いる。
ただ、今Krawtchouk多項式
Krawtchouk多項式
ただし
(左辺を
一般項の式とはうって変わり、綺麗になった。
となり題意の式が従う。
また
実はこういうのは三項間漸化式との対応を見る方が綺麗かもしれないが。(盛大な前振り)
今まで母関数の話を一切してこなかったので、2階ODE型の直交多項式の母関数についてはまたの機会でまとめておきたい。
母関数を用いて直交性が示しやすいのは、二項分布が特徴的な冪の形をしているからである。
Krawtchouk多項式同士の内積を計算したいが、次のようにその内積に関する母関数を取る。
上同様に和の範囲を無限大まで拡張することで
以上より係数を比較することで
となり、直交性及び二乗モーメントの値を確かめることができた。(証明終わり)
残りの性質である、三項間漸化式、差分方程式とRodriguesの公式、超幾何級数による表示、を与えたいと思う。
ただしあまりにも量が多いので、今回の記事では超幾何表示のみを与える。
(それ以外の性質については、次の記事で与えることにする)
Krawtchouk多項式
1式目は直接的に二項係数をバラしただけである。
それに対し2式目はかなり重要な使い勝手のいい式である。(変数
一般項の中の二項係数を階乗にバラしていく、でもいいが、少し別の方法を取りたい。
このとき初項
これらの事実から、
のように得られることがわかった。(証明終わり)
2式目を示すために、次の補題を用意する。
(1式目から2式目が直接示されるのかどうかは私は知らない)
私はこれを「委員長-委員の定理」と教わったが、
という二項係数の等式を用いる。
左辺は「
一方、右辺は「
このような対応付けにより上の等式は正しいとわかる。
実はこんなことを言わなくとも、二項係数を階乗に直すことで
となり明らかに一致しているのだが。
補題は今示した等式を用いて
のように示すことが出来る。(証明終わり)
母関数を考えると
となり母関数が一致したので示された。(証明終わり)
Krawtchouk多項式として、超幾何関数の部分のみを取り出した
のように定めている文献が多数であろう。
以下では上の
と共に、必要ならば両方載せておくこととする。
正規化の違いであるので、二項分布に関して直交するという事実は変わらない。
なお、
である。また母関数は、二項係数を残した母関数
として計算できる。(ほぼ
(二項係数を掛けないと、
さて、この記事の最後に、
上で与えた超幾何表示から直ちにわかるdualityという性質について載せておく。
Krawtchouk多項式
が
の定義式に代入することで
となり従うことがわかる。(証明終わり)
dualityの観点からすると
・・・それについて書くのは次次回くらいになりそうな気がしてならない。
この記事では、離散直交多項式の一例として
二項分布に関する直交多項式であるKrawtchouk多項式を考えることができた。
一般項は二項係数を係数に含む有限和の形で書くことができ、
特に母関数は綺麗な形で書くことができた。
母関数を用いて綺麗な超幾何表示を確かめることができた。
Krawtchouk多項式はこれら性質に限らず
Classicalな2階ODE型の直交多項式(Jacobi/Legendre/Hermite/Bessel)に
類似した性質を持つことが知られている。
次回の記事ではそれらの性質について見ていくことにする。