BaileyによるCayley-Orr型の定理

係数を比較して, それぞれ示すべき等式は,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c,-n}{2c,a+b+\frac 12,\frac 12-n+a+b-c}1\\ &=\frac{\left(c+\frac 12-a,c+\frac 12-b\right)_n}{\left(c+\frac 12,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F43{a,b,\frac 12+a+b-2c-n,-n}{\frac 12+a-c-n,\frac 12+b-c-n,a+b+\frac 12}1 \end{align}
と,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c,-n}{2c,a+b+\frac 12,\frac 12-n+a+b-c}1\\ &=\frac{\left(a+\frac 12,c+\frac 12-a\right)_n}{\left(a+b+\frac 12,c+\frac 12-a-b\right)_n}\F43{b,c-b,\frac 12-n-c,-n}{c+\frac 12,\frac 12-a-n,\frac 12+a-c-n}1 \end{align}
である. まず, Whippleの変換公式 より,
\begin{align} &\F43{a,b,\frac 12+a+b-2c-n,-n}{\frac 12+a-c-n,\frac 12+b-c-n,a+b+\frac 12}1\\ &=\frac{\left(a+\frac 12,c+\frac 12\right)_n}{\left(a+b+\frac 12,c+\frac 12-b\right)_n}\F43{b,c-b,\frac 12-n-c,-n}{c+\frac 12,\frac 12-a-n,\frac 12+a-c-n}1 \end{align}
であるから, 1つ目の式と2つ目の式は同値である. よって, 1つ目の式を示す. Whippleの変換公式より,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c,-n}{2c,a+b+\frac 12,\frac 12-n+a+b-c}1\\ &=\frac{\left(2c-2a,\frac 12+a-b+c\right)_n}{\left(2c,\frac 12-a-b+c\right)_n}\F43{2a,\frac 12+a+b-c,\frac 12+a-b,-n}{\frac 12+a-b+c,\frac 12+a+b,1-n+2a-2c}1 \end{align}
次に WhippleのNearly-poised変換公式 より,
\begin{align} &\F43{2a,\frac 12+a+b-c,\frac 12+a-b,-n}{\frac 12+a-b+c,\frac 12+a+b,1-n+2a-2c}1\\ &=\frac{(2c)_n}{(2c-2a)_n}\F43{2a,\frac 12+a+b-c,\frac 12+a-b,-n}{\frac 12+a-b+c,\frac 12+a+b,1-n+2a-2c}1 \end{align}
最後に, Whippleの${}_4F_3$変換公式 より,
\begin{align} &\F43{2a,\frac 12+a+b-c,\frac 12+a-b,-n}{\frac 12+a-b+c,\frac 12+a+b,1-n+2a-2c}1\\ &=\frac{\left(\frac 12+c-a,\frac 12+c-b\right)_n}{\left(c+\frac 12,c+\frac 12+a-b\right)_n}\F43{a,b,\frac 12+a+b-2c-n,-n}{\frac 12+a-c-n,\frac 12+b-c-n,a+b+\frac 12}1 \end{align}
これらを合わせて, 示すべき等式が得られる.

示すべき等式は,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c+\frac 12,-n}{2c,a+b+\frac 12,1-n+a+b-c}1\\ &=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac 12+a+b-2c-n,-n}{a+b+\frac 12,1-n+a-c,1-n+b-c}1 \end{align}
である. ここで,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c-\frac 12,-n}{2c-1,a+b+\frac 12,1+a+b-c-n}1\\ &=\sum_{0\leq k}\frac{\left(2a,2b,c+\frac 12,-n\right)_k}{k!\left(2c,a+b+\frac 12,1+a+b-c-n\right)_k}\left(1-\frac{k}{2k+2c-1}\right)\\ &=\F43{2a,2b,c+\frac 12,-n}{2c,a+b+\frac 12,1+a+b-c-n}1\\ &+\frac{abn}{c\left(a+b+\frac 12\right)(1+a+b-c-n)}\F43{2a+1,2b+1,c+\frac 12,1-n}{2c+1,a+b+\frac 32,2+a+b-c-n}1 \end{align}
よって, 定理1を用いると,
\begin{align} &\F43{2a,2b,c+\frac 12,-n}{2c,a+b+\frac 12,1+a+b-c-n}1\\ &=\F43{2a,2b,c-\frac 12,-n}{2c-1,a+b+\frac 12,1+a+b-c-n}1\\ &-\frac{abn}{c\left(a+b+\frac 12\right)(1+a+b-c-n)}\F43{2a+1,2b+1,c+\frac 12,1-n}{2c+1,a+b+\frac 32,2+a+b-c-n}1\\ &=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac 32+a+b-2c-n,-n}{1-n+a-c,1-n+b-c,a+b+\frac 12}1\\ &-\frac{abn}{c\left(a+b+\frac 12\right)(1+a+b-c-n)}\frac{\left(c-a+\frac 12,c-b+\frac 12\right)_{n-1}}{(c+1,c-a-b)_{n-1}}\F43{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32+a+b-2c-n,1-n}{\frac 32-n+a-c,\frac 32-n+b-c,a+b+\frac 32}1 \end{align}
ここで, Whippleの変換公式 より,
\begin{align} &\F43{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32+a+b-2c-n,1-n}{\frac 32-n+a-c,\frac 32-n+b-c,a+b+\frac 32}1\\ &=\frac{\left(c-a,c-b\right)_{n-1}}{\left(c-a+\frac 12,c-b+\frac 12\right)_{n-1}}\F43{a+1,b+1,\frac 32+a+b-2c-n,1-n}{2-n+a-b,2-n+a-c,a+b+\frac 32}1 \end{align}
を用いると,
\begin{align} &\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac 32+a+b-2c-n,-n}{1-n+a-c,1-n+b-c,a+b+\frac 12}1\\ &-\frac{abn}{c\left(a+b+\frac 12\right)(1+a+b-c-n)}\frac{\left(c-a+\frac 12,c-b+\frac 12\right)_{n-1}}{(c+1,c-a-b)_{n-1}}\F43{a+\frac 12,b+\frac 12,\frac 32+a+b-2c-n,1-n}{\frac 32-n+a-c,\frac 32-n+b-c,a+b+\frac 32}1\\ &=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac 32+a+b-2c-n,-n}{1-n+a-c,1-n+b-c,a+b+\frac 12}1\\ &+\frac{abn}{a+b+\frac 12}\frac{(c-a,c-b)_{n-1}}{(c,c-a-b)_{n}}\F43{a+1,b+1,\frac 32+a+b-2c-n,1-n}{2-n+a-b,2-n+a-c,a+b+\frac 32}1\\ &=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\sum_{0\leq k}\frac{\left(a,b,\frac 32+a+b-2c-n,-n\right)_k}{k!\left(1-n+a-c,1-n+b-c,a+b+\frac 12\right)_k}\left(1-\frac{k}{k+\frac 12+a+b-2c-n}\right)\\ &=\frac{(c-a,c-b)_n}{(c,c-a-b)_n}\F43{a,b,\frac 12+a+b-2c-n,-n}{1-n+a-c,1-n+b-c,a+b+\frac 12}1 \end{align}
となって示すべき等式が得られた.