級数解説02

2020/11/12に出題した問題です。

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle \sum _{0<a<b}\frac{(-1{)}^b}{a^{2}b}}\\ & =& \sum _{0<a\le b}\frac{(-1{)}^b}{a^{2}b}-\sum _{0<a}\frac{(-1{)}^a}{a^3}\\ & =& \sum _{0<b}\frac{(-1{)}^b}{b}\sum _{0<a}(\frac{1}{a^2}-\frac{1}{(a+b{)}^2})+\frac{3}{4}\zeta (3)\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{(-1{)}^b(2ab+b^2)}{a^{2}b(a+b)}+\frac{3}{4}\zeta (3)\\ & =& \sum _{0<a,b}(\frac{(-1{)}^b}{a^2(a+b)}+\frac{(-1{)}^b}{a(a+b{)}^2})+\frac{3}{4}\zeta (3)\\ & =& \sum _{0<a<b}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^{2}b}+\sum _{0<b<a}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^{2}b}+\frac{3}{4}\zeta (3)\\ & =& \sum _{0<a,b}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^{2}b}-\sum _{0<a}\frac{1}{a^3}+\frac{3}{4}\zeta (3)\\ & =& \sum _{0<b}\frac{(-1{)}^b}{b}\sum _{0<a}\frac{(-1{)}^a}{a^2}-\frac{1}{4}\zeta (3)\\ & =& \frac{1}{2}\zeta (2)\log 2-\frac{1}{4}\zeta (3)\end{array}$

よって、この問題の解答は${\displaystyle \frac{1}{2}\zeta (2)\log 2-\frac{1}{4}\zeta (3)}$になります。

こちら で $\tau \rho \iota \alpha$ さんが積分を使った解法を載せているのでそちらを見てみても良いかもしれません。
ちなみにこの級数はalternating MZVというものを使うと$\zeta (2,\bar{1})$と表されます。