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級数解説02

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/12に出題した問題です。

$$ \displaystyle \sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^b}{a^2b} $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\displaystyle \sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^b}{a^2b}\\ &=&\sum_{0\f a\le b}\frac{(-1)^b}{a^2b}-\sum_{0\f a}\frac{(-1)^a}{a^3}\\ &=&\sum_{0\f b}\frac{(-1)^b}b\sum_{0\f a}\l\frac1{a^2}-\frac1{(a+b)^2} \r+\frac34\z(3)\\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^b(2ab+b^2)}{a^2b(a+b)}+\frac34\z(3) \\ &=&\sum_{0\f a,b}\l \frac{(-1)^b}{a^2(a+b)}+\frac{(-1)^b}{a(a+b)^2} \r+\frac34\z(3)\\ &=&\sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^{a+b}}{a^2b}+\sum_{0\f b\f a} \frac{(-1)^{a+b}}{a^2b}+\frac34\z(3) \\ &=&\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^{a+b}}{a^2b}-\sum_{0\f a}\frac1{a^3}+\frac34\z(3)\\ &=&\sum_{0\f b}\frac{(-1)^b}b\sum_{0\f a}\frac{(-1)^a}{a^2}-\frac14\z(3)\\ &=&\frac12\z(2)\log2-\frac14\z(3) \end{eqnarray*} $

よって、この問題の解答は$\d \frac12\z(2)\log2-\frac14\z(3)$になります。

こちら $\tau\rho\iota\alpha$ さんが積分を使った解法を載せているのでそちらを見てみても良いかもしれません。
ちなみにこの級数はalternating MZVというものを使うと$\z(2,\overline{1}) $と表されます。

投稿日:20201113

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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