院解4 京大数学系R7 基礎6 位相

連結でないと仮定する.ある${\mathbb{R}}^2$の開集合$U_1,U_2$が存在して
$K\subseteq U_1\cup U_2$, $U_1\cap U_2\cap K=\varphi$, $U_i\cap K\ne \varphi (i=1,2)$
を満たす.
$U_x=\{x|\text{ある}y\in [0,1]\text{が存在して}(x,y)\in U_1\cap K\}$
とおく.$U_1\cap K\ne \varphi$だから$U_x\ne \varphi$であり,実数の連続性から$\text{sup}{U}_x\in [0,1]$が存在する. $\alpha =\text{sup}{U}_x$とおく. $K_{\alpha }\ne \varphi$だからある$\beta \in K_{\alpha }$が存在して,$(\alpha ,\beta )\in K$.$0<\alpha <1$の場合を考える.$(\alpha ,\beta )\in U_1$とする.$N$を任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$\alpha +\frac{1}{n+N}\in [0,1]$を満たす自然数とする.ある${\beta }_n\in [0,1]$が存在して$(\alpha +\frac{1}{n+N},{\beta }_n)\in K$.${\beta }_n$は収束する部分列をもつからそれを$\{{\beta }_{m_n}{\}}_n$とし極限値を${\beta }^{\prime }$とおく.$K$は閉だから$K$の点列の極限は$K$の元であり,$K_{\alpha }$は連結だから$(\alpha ,\beta )\in U_1$により$U_1$に含まれる.よって$(\alpha ,{\beta }^{\prime })\in K\cap U_1$であり,十分大きな任意の$n$に対して$(\alpha +\frac{1}{m_n+N},{\beta }_{m_n})\in U_1$.これは$\alpha$が上限であることに矛盾する.$(\alpha ,\beta )\in U_2$のときは$U_1$から同様の点列をとればよい.$\alpha =0$のとき$(\alpha ,\beta )\in U_1$だから同様に示される.$\alpha =1$のときも同様である.

もし$K$と$\{(x,x)|x\in [0,1]\}$に共通部分がなければ
$K\cap \{(x,y)|x>y\}$, $\{(x,y)|x<y\}$は互いに素な開集合でどちらも空でない.よって$K$の連結性に反する.$◻$