院解4 京大数学系R7 基礎6 位相

連結でないと仮定する.ある$\mathbb{R}^2$の開集合$U_1,U_2$が存在して
$K\subseteq U_1\cup U_2$, $U_1\cap U_2\cap K=\phi$, $U_i\cap K\neq\phi\ (i=1,2)$
を満たす.
$U_x=\{x\ |\ \text{ある}\ y\in [0,1]\text{が存在して}\ (x,y)\in U_1\cap K\}$
とおく.$U_1\cap K\neq \phi$だから$U_x\neq \phi$であり,実数の連続性から$\text{sup}\ U_x\in [0,1]$が存在する. $\alpha=\text{sup}\ U_x$とおく. $K_{\alpha}\neq \phi$だからある$\beta\in K_\alpha$が存在して,$(\alpha,\beta)\in K$.$0<\alpha<1$の場合を考える.$(\alpha,\beta)\in U_1$とする.$N$を任意の$n\in \mathbb{N}$に対して$\alpha+\frac{1}{n+N}\in [0,1]$を満たす自然数とする.ある$\beta_n\in [0,1]$が存在して$(\alpha+\frac{1}{n+N},\beta_n)\in K$.$\beta_n$は収束する部分列をもつからそれを$\{\beta_{m_n}\}_n$とし極限値を$\beta^{\prime}$とおく.$K$は閉だから$K$の点列の極限は$K$の元であり,$K_\alpha$は連結だから$(\alpha,\beta)\in U_1$により$U_1$に含まれる.よって$(\alpha,\beta^{\prime})\in K\cap U_1$であり,十分大きな任意の$n$に対して$(\alpha+\frac{1}{m_n+N},\beta_{m_n})\in U_1$.これは$\alpha$が上限であることに矛盾する.$(\alpha,\beta)\in U_2$のときは$U_1$から同様の点列をとればよい.$\alpha=0$のとき$(\alpha,\beta)\in U_1$だから同様に示される.$\alpha=1$のときも同様である.

もし$K$と$\{(x,x)\ |\ x\in [0,1]\}$に共通部分がなければ
$K\cap \{(x,y)\ |\ x>y\} $, $\{(x,y)\ |\ x< y\}$は互いに素な開集合でどちらも空でない.よって$K$の連結性に反する.$\Box$