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大学数学基礎解説
文献あり

開集合の任意交叉と閉集合の任意合併

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$$\newcommand{id}[0]{\mathrm{id}} \newcommand{supp}[1]{\mathrm{supp}(#1)} $$

一般に,開集合族の交叉(resp. 閉集合族の合併)は開集合(resp. 閉集合)になるとは限りません.たとえば
\begin{align} \bigcap_{n = 1}^{\infty}\,\left]-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right[ &= [0,1],\\ \bigcup_{n=1}^{\infty} \left[0,1-\frac{1}{n}\right] &= [0,1[ \end{align}
に類する例は「集合と位相」の教科書に必ずと言ってよいほど載っていることと思います.

本記事では開集合族$\mathcal{U}$に対して$\bigcap \mathcal{U}$が開集合となるための,或いは閉集合族$\mathcal{F}$に対して$\bigcup \mathcal{F}$が閉集合となるための十分条件を紹介します.

開集合族の交叉が開集合となるとき

$X,\Lambda$を位相空間とし,$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$$X$の開集合族とする.
$$ \{(x,\lambda) \in X \times \Lambda\ |\ x \in U_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$$
が開集合であるとき,$(U_{\lambda})_{\lambda}$連続的に添字づけられた開集合族という.

$X,\Lambda$を位相空間とし,$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続的に添字づけられた開集合族とする.このとき,$\Lambda$がコンパクト空間ならば,$\bigcap_{\lambda} U_{\lambda} \subset X$は開集合である.

有限集合は離散位相によりコンパクトとなるので,この命題は「有限個の開集合の交叉はまた開集合となる」ことの一般化と言える.

$\Lambda$がコンパクトであることから,射影$p \colon X \times \Lambda \to X$は閉写像である.$W = \{(x,\lambda)\ |\ x \in U_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$とおくと,これは開集合であるから,
\begin{align} \bigcap_{\lambda} U_{\lambda} &= \{x \in X\ |\ \forall \lambda \in \Lambda, x \in U_{\lambda}\}\\ &= \{x \in X\ |\ \forall \lambda \in \Lambda, (x,\lambda) \in W\}\\ &= \{x \in X\ |\ p^{-1}(x) \subset W\}\\ &= p_{\sharp}(W) \subset X \end{align}
は開集合である.

命題1の

$\alpha \colon X \times G \to X$を連続作用とする.このとき,任意の開集合$U \subset X$とコンパクト集合$K \subset G$に対して
$$ \bigcap \{U \cdot k\ |\ k \in K\} \subset X$$
は開集合である.

\begin{align} \{(x,k) \in X \times K^{-1}\ |\ x \in U \cdot k^{-1}\} &= \{(x,k) \in X \times K^{-1}\ |\ (x,k) \in \alpha^{-1}(U)\}\\ &= (X \times K^{-1}) \cap \alpha^{-1}(U) \subset X \times K^{-1} \end{align}
は開集合である.よって
$$ \bigcap \{U \cdot k\ |\ k \in K\} = \bigcap \{U \cdot k^{-1}\ | \ k \in K^{-1}\} \subset X$$
は開集合である.

閉集合族の合併が閉集合となるとき

$X,\Lambda$を位相空間とし,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$$X$の閉集合族とする.
$$ \{(x,\lambda) \in X \times \Lambda\ |\ x \in F_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$$
が閉集合であるとき,$(F_{\lambda})_{\lambda}$連続的に添字づけられた閉集合族という.

$X,\Lambda$を位相空間とし,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続的に添字づけられた閉集合族とする.このとき,$\Lambda$がコンパクト空間ならば,$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である.

$$ (X \times \Lambda) \smallsetminus \{(x,\lambda)\ |\ x \in F_{\lambda}\} = \{(x,\lambda)\ |\ x \in X \smallsetminus F_{\lambda}\}$$
より$(X \smallsetminus F_{\lambda})_{\lambda}$は連続的に添字づけられた開集合族である.よって命題1より
$$ X \smallsetminus \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \bigcap_{\lambda} X \smallsetminus F_{\lambda} \subset X$$
は開集合であるから,$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である.

$X$を位相空間とし,$(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその部分集合族とする.任意の$x \in X$に対して,その開近傍$U \subset X$であって
$$ \# \{\lambda \in \Lambda\ |\ A_{\lambda} \cap U \neq \varnothing\} < \infty$$
となるものが存在するとき,$(A_{\lambda})_{\lambda}$局所有限であるという.

$X$を位相空間とし,$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその閉集合族とする.このとき,$(F_{\lambda})_{\lambda}$が局所有限ならば,$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である.

$x \notin \bigcup_{\lambda} F_{\lambda}$とする.仮定より$x$の開近傍$U \subset X$であって
$$ \{\lambda \in \Lambda\ |\ F_{\lambda} \cap U \neq \varnothing\} = \{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\}:\text{finite}$$
となるものが存在する.このとき$V := U \cap \bigcap_{i} (X \smallsetminus F_{\lambda_{i}}) \subset X$$x$の開近傍であって$V \cap \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \varnothing$を満たす.よって$x \notin \overline{\bigcup_{\lambda} F_{\lambda}}$が成り立つ.

参考文献

[2]
L. Nachbin, Compact unions of closed subsets are closed and compact intersections of open subsets are open, Portugaliae mathematica
[3]
児玉之宏,永見啓応, 『位相空間論』, 岩波書店
投稿日:20231028

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うすい
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