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開集合の任意交叉と閉集合の任意合併

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一般に，開集合族の交叉（resp. 閉集合族の合併）は開集合（resp. 閉集合）になるとは限りません．たとえば
$\begin{aligned} ⋂_{n = 1}^{\infty}] - \frac{1}{n}, 1 + \frac{1}{n} [ & = [0, 1], \\ ⋃_{n = 1}^{\infty} [0, 1 - \frac{1}{n}] & = [0, 1 [ \end{aligned}$
に類する例は「集合と位相」の教科書に必ずと言ってよいほど載っていることと思います．

本記事では開集合族 $U$ に対して $⋂ U$ が開集合となるための，或いは閉集合族 $F$ に対して $⋃ F$ が閉集合となるための十分条件を紹介します．

開集合族の交叉が開集合となるとき

$X, Λ$ を位相空間とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の開集合族とする．
${(x, λ) \in X \times Λ | x \in U_{λ}} \subset X \times Λ$
が開集合であるとき， $(U_{λ})_{λ}$ を連続的に添字づけられた開集合族という．

$X, Λ$ を位相空間とし， $(U_{λ})_{λ \in Λ}$ を連続的に添字づけられた開集合族とする．このとき， $Λ$ がコンパクト空間ならば， $⋂_{λ} U_{λ} \subset X$ は開集合である．

有限集合は離散位相によりコンパクトとなるので，この命題は「有限個の開集合の交叉はまた開集合となる」ことの一般化と言える．

$Λ$ がコンパクトであることから，射影 $p : X \times Λ \to X$ は閉写像である． $W = {(x, λ) | x \in U_{λ}} \subset X \times Λ$ とおくと，これは開集合であるから，
$\begin{aligned} ⋂_{λ} U_{λ} & = {x \in X | \forall λ \in Λ, x \in U_{λ}} \\ = {x \in X | \forall λ \in Λ, (x, λ) \in W} \\ = {x \in X | p^{- 1} (x) \subset W} \\ = p_{♯} (W) \subset X \end{aligned}$
は開集合である．

命題1の

$α : X \times G \to X$ を連続作用とする．このとき，任意の開集合 $U \subset X$ とコンパクト集合 $K \subset G$ に対して
$⋂ {U \cdot k | k \in K} \subset X$
は開集合である．

$\begin{aligned} {(x, k) \in X \times K^{- 1} | x \in U \cdot k^{- 1}} & = {(x, k) \in X \times K^{- 1} | (x, k) \in α^{- 1} (U)} \\ = (X \times K^{- 1}) \cap α^{- 1} (U) \subset X \times K^{- 1} \end{aligned}$
は開集合である．よって
$⋂ {U \cdot k | k \in K} = ⋂ {U \cdot k^{- 1} | k \in K^{- 1}} \subset X$
は開集合である．

閉集合族の合併が閉集合となるとき

$X, Λ$ を位相空間とし， $(F_{λ})_{λ \in Λ}$ を $X$ の閉集合族とする．
${(x, λ) \in X \times Λ | x \in F_{λ}} \subset X \times Λ$
が閉集合であるとき， $(F_{λ})_{λ}$ を連続的に添字づけられた閉集合族という．

$X, Λ$ を位相空間とし， $(F_{λ})_{λ \in Λ}$ を連続的に添字づけられた閉集合族とする．このとき， $Λ$ がコンパクト空間ならば， $⋃_{λ} F_{λ} \subset X$ は閉集合である．

$(X \times Λ) ∖ {(x, λ) | x \in F_{λ}} = {(x, λ) | x \in X ∖ F_{λ}}$
より $(X ∖ F_{λ})_{λ}$ は連続的に添字づけられた開集合族である．よって命題1より
$X ∖ ⋃_{λ} F_{λ} = ⋂_{λ} X ∖ F_{λ} \subset X$
は開集合であるから， $⋃_{λ} F_{λ} \subset X$ は閉集合である．

$X$ を位相空間とし， $(A_{λ})_{λ \in Λ}$ をその部分集合族とする．任意の $x \in X$ に対して，その開近傍 $U \subset X$ であって
$# {λ \in Λ | A_{λ} \cap U \neq \emptyset} < \infty$
となるものが存在するとき， $(A_{λ})_{λ}$ は局所有限であるという．

$X$ を位相空間とし， $(F_{λ})_{λ \in Λ}$ をその閉集合族とする．このとき， $(F_{λ})_{λ}$ が局所有限ならば， $⋃_{λ} F_{λ} \subset X$ は閉集合である．

$x \notin ⋃_{λ} F_{λ}$ とする．仮定より $x$ の開近傍 $U \subset X$ であって
${λ \in Λ | F_{λ} \cap U \neq \emptyset} = {λ_{1}, \dots, λ_{n}} : finite$
となるものが存在する．このとき $V := U \cap ⋂_{i} (X ∖ F_{λ_{i}}) \subset X$ は $x$ の開近傍であって $V \cap ⋃_{λ} F_{λ} = \emptyset$ を満たす．よって $x \notin \overset{―}{⋃_{λ} F_{λ}}$ が成り立つ．