一般に，開集合族の交叉（resp. 閉集合族の合併）は開集合（resp. 閉集合）になるとは限りません．たとえば
\begin{align}
\bigcap_{n = 1}^{\infty}\,\left]-\frac{1}{n},1+\frac{1}{n}\right[ &= [0,1],\\
\bigcup_{n=1}^{\infty} \left[0,1-\frac{1}{n}\right] &= [0,1[
\end{align}
に類する例は「集合と位相」の教科書に必ずと言ってよいほど載っていることと思います．
本記事では開集合族$\mathcal{U}$に対して$\bigcap \mathcal{U}$が開集合となるための，或いは閉集合族$\mathcal{F}$に対して$\bigcup \mathcal{F}$が閉集合となるための十分条件を紹介します．
$X,\Lambda$を位相空間とし，$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の開集合族とする．
$$
\{(x,\lambda) \in X \times \Lambda\ |\ x \in U_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$$
が開集合であるとき，$(U_{\lambda})_{\lambda}$を連続的に添字づけられた開集合族という．
$X,\Lambda$を位相空間とし，$(U_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続的に添字づけられた開集合族とする．このとき，$\Lambda$がコンパクト空間ならば，$\bigcap_{\lambda} U_{\lambda} \subset X$は開集合である．
有限集合は離散位相によりコンパクトとなるので，この命題は「有限個の開集合の交叉はまた開集合となる」ことの一般化と言える．
$\Lambda$がコンパクトであることから，射影$p \colon X \times \Lambda \to X$は閉写像である．$W = \{(x,\lambda)\ |\ x \in U_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$とおくと，これは開集合であるから，
\begin{align}
\bigcap_{\lambda} U_{\lambda}
&= \{x \in X\ |\ \forall \lambda \in \Lambda, x \in U_{\lambda}\}\\
&= \{x \in X\ |\ \forall \lambda \in \Lambda, (x,\lambda) \in W\}\\
&= \{x \in X\ |\ p^{-1}(x) \subset W\}\\
&= p_{\sharp}(W) \subset X
\end{align}
は開集合である．
$\alpha \colon X \times G \to X$を連続作用とする．このとき，任意の開集合$U \subset X$とコンパクト集合$K \subset G$に対して
$$
\bigcap \{U \cdot k\ |\ k \in K\} \subset X$$
は開集合である．
\begin{align}
\{(x,k) \in X \times K^{-1}\ |\ x \in U \cdot k^{-1}\}
&= \{(x,k) \in X \times K^{-1}\ |\ (x,k) \in \alpha^{-1}(U)\}\\
&= (X \times K^{-1}) \cap \alpha^{-1}(U) \subset X \times K^{-1}
\end{align}
は開集合である．よって
$$
\bigcap \{U \cdot k\ |\ k \in K\} = \bigcap \{U \cdot k^{-1}\ | \ k \in K^{-1}\} \subset X$$
は開集合である．
$X,\Lambda$を位相空間とし，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$X$の閉集合族とする．
$$
\{(x,\lambda) \in X \times \Lambda\ |\ x \in F_{\lambda}\} \subset X \times \Lambda$$
が閉集合であるとき，$(F_{\lambda})_{\lambda}$を連続的に添字づけられた閉集合族という．
$X,\Lambda$を位相空間とし，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を連続的に添字づけられた閉集合族とする．このとき，$\Lambda$がコンパクト空間ならば，$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である．
$$
(X \times \Lambda) \smallsetminus \{(x,\lambda)\ |\ x \in F_{\lambda}\} = \{(x,\lambda)\ |\ x \in X \smallsetminus F_{\lambda}\}$$
より$(X \smallsetminus F_{\lambda})_{\lambda}$は連続的に添字づけられた開集合族である．よって命題1より
$$
X \smallsetminus \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \bigcap_{\lambda} X \smallsetminus F_{\lambda} \subset X$$
は開集合であるから，$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である．
$X$を位相空間とし，$(A_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその部分集合族とする．任意の$x \in X$に対して，その開近傍$U \subset X$であって
$$
\# \{\lambda \in \Lambda\ |\ A_{\lambda} \cap U \neq \varnothing\} < \infty$$
となるものが存在するとき，$(A_{\lambda})_{\lambda}$は局所有限であるという．
$X$を位相空間とし，$(F_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$をその閉集合族とする．このとき，$(F_{\lambda})_{\lambda}$が局所有限ならば，$\bigcup_{\lambda} F_{\lambda} \subset X$は閉集合である．
$x \notin \bigcup_{\lambda} F_{\lambda}$とする．仮定より$x$の開近傍$U \subset X$であって
$$
\{\lambda \in \Lambda\ |\ F_{\lambda} \cap U \neq \varnothing\} = \{\lambda_{1},\ldots,\lambda_{n}\}:\text{finite}$$
となるものが存在する．このとき$V := U \cap \bigcap_{i} (X \smallsetminus F_{\lambda_{i}}) \subset X$は$x$の開近傍であって$V \cap \bigcup_{\lambda} F_{\lambda} = \varnothing$を満たす．よって$x \notin \overline{\bigcup_{\lambda} F_{\lambda}}$が成り立つ．