2024東工大数学大問4を母関数で楽に解く [文系でもok]

\begin{align} & f(x) = \left( \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \right)^n \tag{1}\\ & この多項式を展開した後の式を以下のように定義します \\ & f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 + a_4x^4 + \cdots \tag{2}\\ & 自然数Nについて, x^Nの係数a_Nは, N回コインの表が出る確率を表している\\ & 今ここで, 我々が求めたいのはコインの表が奇数回出る確率X_nである. 従って \\ & X_n = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + \cdots \\ & である. ところで \\ & f(1) = a_0 + a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + \cdots \tag{3}\\ & f(-1) = a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + a_4 - a_5 + \cdots \tag{4}\\ & であるために \\ & X_n = \frac{f(1) - f(-1)}{2} = \frac{ 1 - \left( \frac{1}{3}(-1) + \frac{2}{3} \right)^n }{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3^n} \end{align}

\begin{align*} g(x) &= \left( \frac{1}{3m}x + \left( 1 - \frac{1}{3m} \right) \right)^m \cdot \left( \frac{2}{3m}x + \left( 1 - \frac{2}{3m} \right) \right)^m \cdot \left( \frac{1}{m}x + \left( 1 - \frac{1}{m} \right) \right)^m \\ \end{align*}

$(1)$ の時と同様に、求めたいのはこの式を展開した後の$x$の奇数乗の係数の和である。
\begin{align*} \\ & \therefore Z_{3m} = \frac{g(1) - g(-1)}{2} \\ \end{align*}
また
\begin{align*} g(1) &= 1 \\ g(-1) &= \left(1 - \frac{2}{3m}\right)^m \cdot \left(1 - \frac{4}{3m}\right)^m \cdot \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m \\ \end{align*}

である。あとは $m \to \infty$ に飛ばした時の値を考えればよく、$e$ の定義に着目することで次のようになる。 (数3の内容なので分からなくてok)

\begin{align*} \lim_{m \to \infty} \left(1 - \frac{2}{3m}\right)^m &= e^{-\frac{2}{3}} \\ \lim_{m \to \infty} \left(1 - \frac{4}{3m}\right)^m &= e^{-\frac{4}{3}} \\ \lim_{m \to \infty} \left(1 - \frac{2}{m}\right)^m &= e^{-2} \\ \end{align*}

よって、求める答えは以下のようになる。

\begin{align*} \lim_{m \to \infty} Z_{3m} &= \frac{1}{2} - \frac{e^{-4}}{2} \end{align*}