n=1様投稿の こちら の記事の内容について一般化を考察しました.まずは以下のように,非可算無限個の和も定義できるように,無限和の定義を拡張します.
写像a:Λ→[0,∞)に対して,
は高々可算集合∑λ∈Λa(λ):=sup{∑λ∈Λ′a(λ) | Λ′⊂Λ, Λ′は高々可算集合.}
とする.
すると,以下の命題が成立します.
Λを非可算集合として,任意のλ∈Λに対して,a(λ)>0が成り立つとする.このとき,∑λ∈Λa(λ)=∞,となる.
以下,集合Aに対して,Aの濃度を#A, 可算濃度をℵ0とする.
任意のn∈Nに対して,#{λ∈Λ | a(λ)>1n}≤ℵ0と仮定すると,
#Λ=#{λ∈Λ∣a(λ)>0}=#a−1((0,∞))=#a−1(⋃n=1∞(1n,∞))=#⋃n=1∞a−1((1n,∞))=#⋃n=1∞{λ∈Λ | a(λ)>1n}≤ℵ0,から,Λが非可算無限集合であることに矛盾.したがって,あるN∈Nがあり, #{λ∈Λ | a(λ)>1N}>ℵ0となる.ここで,A:={λ∈Λ | a(λ)>1N}とおくと,#A>ℵ0より,あるB⊂Aが存在して,#B=ℵ0となる.よって,B⊂Λから,∑λ∈Λa(λ)≥∑λ∈Ba(λ)>∑λ∈B1N=1N∑λ∈B1=∞.
無限和の定義を0次元ハウスドルフ測度(数え上げ測度)H0に対して,∑λ∈Λa(λ):=∫Λa(λ) dH0(λ),として定義しても,正実数の非可算無限和は必ず発散することが今回の証明と同様に示すことが出来ます.(証明の最後の行を積分に変えるだけ.)
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