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非可算無限個の正の実数の和は発散する

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n=1様投稿の こちら の記事の内容について一般化を考察しました.
まずは以下のように,非可算無限個の和も定義できるように,無限和の定義を拡張します.

拡張した無限和

写像a:Λ[0,)に対して,

λΛa(λ):=sup{λΛa(λ) | ΛΛ, Λは高々可算集合.}

とする.

すると,以下の命題が成立します.

Λを非可算集合として,任意のλΛに対して,a(λ)>0が成り立つとする.このとき,
λΛa(λ)=,
となる.

以下,集合Aに対して,Aの濃度を#A, 可算濃度を0とする.

任意のnNに対して,#{λΛ | a(λ)>1n}0と仮定すると,

#Λ=#{λΛa(λ)>0}=#a1((0,))=#a1(n=1(1n,))=#n=1a1((1n,))=#n=1{λΛ | a(λ)>1n}0,から,Λが非可算無限集合であることに矛盾.
したがって,あるNNがあり, #{λΛ | a(λ)>1N}>0となる.
ここで,A:={λΛ | a(λ)>1N}とおくと,#A>0より,あるBAが存在して,#B=0となる.よって,BΛから,
λΛa(λ)λBa(λ)>λB1N=1NλB1=.

おまけ

無限和の定義を0次元ハウスドルフ測度(数え上げ測度)H0に対して,
λΛa(λ):=Λa(λ) dH0(λ),
として定義しても,正実数の非可算無限和は必ず発散することが今回の証明と同様に示すことが出来ます.
(証明の最後の行を積分に変えるだけ.)

投稿日:2023116
更新日:2023118
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Mathお
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