非可算無限個の正の実数の和は発散する
n=1様投稿の
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の記事の内容について一般化を考察しました．
まずは以下のように，非可算無限個の和も定義できるように，無限和の定義を拡張します．
写像$a:\Lambda \rightarrow [0,\infty)$に対して，
$\displaystyle \sum_{\lambda \in \Lambda} a(\lambda):=\sup \left\{\sum_{\lambda \in \Lambda '} a(\lambda) ~\middle|~ \Lambda' \subset \Lambda, ~\Lambda' \mbox{は高々可算集合.} \right\} $
とする．
すると，以下の命題が成立します．
$\Lambda$を非可算集合として，任意の$\lambda \in \Lambda$に対して，$a(\lambda) > 0$が成り立つとする．このとき，
$$\displaystyle \sum_{\lambda \in \Lambda} a(\lambda)=\infty,$$
となる．
以下，集合$A$に対して，$A$の濃度を$\#A$, 可算濃度を$ \aleph_{0}$とする．
任意の$n \in \mathbb{N}$に対して，$\displaystyle \# \left\{\lambda \in \Lambda ~\middle |~ a(\lambda)> \frac{1}{n} \right\} \leq \aleph_{0}$と仮定すると，
\begin{align*}
\# \Lambda &=\# \{\lambda \in \Lambda \mid a(\lambda)>0 \}\\
&=\# a^{-1} \left((0,\infty) \right) \\
&=\# a^{-1}\left( \bigcup_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} , \infty \right) \right)\\
&= \# \bigcup_{n=1}^{\infty} a^{-1}\left( \left( \frac{1}{n} , \infty \right) \right) \\
&=\# \bigcup_{n=1}^{\infty} \left\{\lambda \in \Lambda ~\middle |~ a(\lambda)> \frac{1}{n} \right\} \leq \aleph_{0},
\end{align*}から，$\Lambda$が非可算無限集合であることに矛盾．
したがって，ある$N \in \mathbb{N}$があり， $\displaystyle \# \left\{\lambda \in \Lambda ~\middle|~ a(\lambda)> \frac{1}{N} \right\} > \aleph_{0} $となる．
ここで，$\displaystyle A := \left\{\lambda \in \Lambda ~\middle|~ a(\lambda)>\frac{1}{N} \right\} $とおくと，$\#A > \aleph_{0}$より，ある$B \subset A$が存在して，$\#B = \aleph_{0}$となる．よって，$B \subset \Lambda$から，
\begin{align*}
\displaystyle \sum_{\lambda \in \Lambda} a(\lambda) &\geq \sum_{\lambda \in B} a(\lambda)
> \sum_{\lambda \in B} \frac{1}{N}
= \frac{1}{N} \sum_{\lambda \in B} 1 = \infty.
\end{align*}
おまけ
無限和の定義を$0$次元ハウスドルフ測度(数え上げ測度)$\mathcal{H}^0$に対して，
$$ \displaystyle \sum_{\lambda \in \Lambda} a(\lambda) := \int_{\Lambda} a(\lambda) ~d\mathcal{H}^0(\lambda),$$
として定義しても，正実数の非可算無限和は必ず発散することが今回の証明と同様に示すことが出来ます．
（証明の最後の行を積分に変えるだけ．）
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