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積分解説14

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$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{d}[0]{\displaystyle} \newcommand{f}[0]{<} \newcommand{l}[0]{\left(} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{r}[0]{\right)} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{tria}[0]{\tau\rho\iota\alpha} \newcommand{v}[0]{\varnothing} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} \newcommand{z}[0]{\zeta} $$

2020/11/13にるめなる君が こちら で記事にした一般化です。試しに解いてみたところ方針が少し違ったので記事にすることにしました。

$$ \displaystyle \int_0^\infty \frac{x^{n-1}e^x}{\sinh x\cosh x}dx $$

[解説]

$ \begin{eqnarray*} &&\d\int_0^\infty \frac{x^{n-1}e^x}{\sinh x\cosh x}dx\\ &=&2\int_0^\infty \frac{x^{n-1}e^x}{\sinh2x}dx\\ &=&4\int_0^\infty x^{n-1}e^{-x}\sum_{k=0}^\infty e^{-4kx}dx\\ &=&4\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty x^{n-1}e^{-(4k+1)x}dx\\ &=&4\sum_{k=0}^\infty \frac1{(4k+1)^n}\Gamma(n)\\ &=&2\Gamma(n)((1-2^{-n})\zeta(n)+\beta(n))\\ \end{eqnarray*} $

よって、

$\d\int_0^\infty \frac{x^{n-1}e^x}{\sinh x\cosh x}dx=2\Gamma(n)((1-2^{-n})\zeta(n)+\beta(n))$

が証明されました。

投稿日:20201114

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投稿者

神鳥奈紗
神鳥奈紗
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遭難者です.高専1年です.MZV,級数,積分をメインにやっています.

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