積分解説14

2020/11/13にるめなる君が こちら で記事にした一般化です。試しに解いてみたところ方針が少し違ったので記事にすることにしました。

[解説]

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}{e}^x}{\sinh x\cosh x}dx}\\ & =& 2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}{e}^x}{\sinh 2x}dx\\ & =& 4{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-4kx}dx\\ & =& 4\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{n-1}{e}^{-(4k+1)x}dx\\ & =& 4\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(4k+1{)}^n}\mathrm{\Gamma }(n)\\ & =& 2\mathrm{\Gamma }(n)((1-2^{-n})\zeta (n)+\beta (n))\end{array}$

よって、

${\displaystyle {\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{x^{n-1}{e}^x}{\sinh x\cosh x}dx=2\mathrm{\Gamma }(n)((1-2^{-n})\zeta (n)+\beta (n))}$

が証明されました。