この記事では,級数botで見つけた,ある積分の等式を証明します.まずはその式を載せておきます.
定理
ここで注意です.上に載せた級数botの式のリンクの画像は恐らく間違っています.その画像では答えがとなっているんですが,正しくは上の定理に書いた答えになると思われます.(実際,Wolfram Alphaで計算すると厳密値がでるんですが,それも上に書いた形となっています.)
では,証明に入っていきます.
Step1. 積分の変形
ここで,
とおいた.の方が簡単であるので,先に計算すると,
よって,
Step2. の計算
Step3. 最終ステップ
Step1の最後に得た式にStep2の結果を代入すれば,
以上で式が証明できた.