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級数botのある積分の証明

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この記事では,級数botで見つけた,ある積分の等式を証明します.まずはその式を載せておきます.


定理
0(1cosax)lnxx2dx=πa2(1γlna)

ここで注意です.上に載せた級数botの式のリンクの画像は恐らく間違っています.その画像では答えがπa2(γ1lna)となっているんですが,正しくは上の定理に書いた答えになると思われます.(実際,Wolfram Alphaで計算すると厳密値がでるんですが,それも上に書いた形となっています.)
 では,証明に入っていきます.

Step1. 積分の変形

0(1cosax)lnxx2dx=0(1cost)ln(ta)(ta)21adt(t=ax)=a0(1cost)lntt2dtalna01costt2dt=aI(alna)J
ここで,
I=0(1cost)lntt2dtJ=01costt2dt
とおいた.Jの方が簡単であるので,先に計算すると,
J=01costt2dt=01t210dducostududt=010sintutdtdu=010sinttdtdu(tut)=π2

よって,
0(1cosax)lnxx2dx=aIπa2lna
Step2. Iの計算

I=0(1cost)lntt2dt=limx20(1cost)xtxdt=limx2ddx0tx10ucostu dudt=limx2ddx010tx+1sintu dtdu=limx2ddx011ux+2Mt[sint](x+2) du=limx2ddx01ux2dusin(π2(x+2))Γ(x+2)=limx2ddxsin(π2x)Γ(x+2)x+1=limx2Γ(x+2)π(x+1)cos(π2x)+2(x+1)sin(π2x)ψ(x+2)2(x+1)2       limx2Γ(x+2)sin(π2x)(x+1)2=12limx2Γ(x+2)(πcos(π2x)+2sin(π2x)ψ(x+2))       limx2Γ(x+2)sin(π2x)=12limx0Γ(x)(πcos(π2x)+2sin(π2x)ψ(x))+limx0Γ(x)sin(π2x)
ここで,私の過去の2つの記事,x→0のときのΓ(ax)sinπbxの極限ガンマ関数,ディガンマ関数,三角関数が入った極限に書いた式より,
limx0Γ(x)sin(π2x)=π2limx0Γ(x)(πcos(π2x)+2sin(π2x)ψ(x))=γπ
だから(実はその2つの記事はこの記事のための準備だったのである),
I=12(γπ)+π2=π2(1γ)
Step3. 最終ステップ

Step1の最後に得た式にStep2の結果を代入すれば,
0(1cosax)lnxx2dx=aπ2(1γ)πa2lna=πa2(1γlna)
以上で式が証明できた.
投稿日:20201115
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Re_menal
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