特殊な形の不定方程式で有用な解の限定法

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前提知識 : 平方剰余の第一補充則 (Euler の規準)
Euler の規準 : https://mathlog.info/articles/454
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手法

本記事にて紹介するのは, 次の定理を整数問題に応用する方法です.

任意の非零整数 $a, b$ に対して, $a$ と $b$ が互いに素ならば, $a^{2} + b^{2}$ は $4$ で割って $3$ 余る素因子を持たない.

$p$ を $a^{2} + b^{2}$ の奇素因子の一つとすれば,
$\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & \equiv 0 (m o d p) \\ a^{2} & \equiv - b^{2} (m o d p) \end{aligned}$
が成立する. 若し $p ∣ b$ ならば $p ∣ a$ であり, これは $a$ と $b$ が互いに素であったことに反するので $p$ は $b$ で割りきれず, そのため $m o d p$ において $b$ の逆元 $b^{- 1}$ が存在する. その二乗を両辺に掛ければ
$\begin{array}{r} (a b^{- 1})^{2} \equiv - 1 (m o d p) \end{array}$
と成り, $m o d p$ において $- 1$ が平方剰余であることが従うため, 第一補充則から $p \equiv 1 (m o d 4)$ が要求される. $◻$

以下に具体例を示します. 各問題の解答については, 後日に追記するかも知れません.

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初等的な問題

問. $2 x^{4} + 2 x^{2} y^{2} + y^{4}$ が平方数と成るような非負整数 $x, y$ の組を全て挙げよ. (AoPS, 改)

問. $x^{3} - x^{2} + 8$ が平方数と成るような整数 $x$ を全て挙げよ. (Ion Cucurezeanu)

問. ある立方数より $7$ だけ小さいような平方数を全て挙げよ. (出典不明)

問. 方程式 $a^{2} + b^{2} + c^{2} = (a b)^{2}$ の整数解を全て決定せよ. (1976 USAMO)

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有名な問題

問. $8$ で割って $5$ 余る素数が無数に存在することを証明せよ.

問. $2$ 以上の整数 $n$ に対して, $n$ が二つの平方数の和として表せるために必要かつ充分な条件は, $n$ を素因子分解したさいに $4$ で割って $3$ 余る素数の冪指数が全て偶数と成ることである. これを証明せよ.

他にも, ある数 $N$ に $1$ を加えたものが $4 i + 3$ 型の素因子を持てば, 元の数 $N$ は平方でないという形で結論を得られることが有る. 例えば次の問題の, $n$ が奇数の場合にはこの論証を適用することができる.
(同様に, $2$ を加えたり $3$ を引いたりして素因子を調べることも時に有効である. )

問. Fibonacci 数列 $1, 1, 2, 3, 5, 8, \dots$ に現れる平方数を全て決定せよ.

この問題の解答 : https://mathlog.info/articles/447
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投稿日：2020年11月15日

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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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