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特殊な形の不定方程式で有用な解の限定法

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前提知識 : 平方剰余の第一補充則 (Euler の規準)
Euler の規準 : https://mathlog.info/articles/454
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手法

本記事にて紹介するのは, 次の定理を整数問題に応用する方法です.

任意の非零整数$a,b$に対して, $a$$b$が互いに素ならば, $a^2+b^2$$4$で割って$3$余る素因子を持たない.

$p$$a^2+b^2$の奇素因子の一つとすれば,
\begin{align} a^2+b^2&\equiv0\ \ ({\rm mod}\ p)\\ a^2&\equiv-b^2\ \ ({\rm mod}\ p) \end{align}
が成立する. 若し$p\mid b$ならば$p\mid a$であり, これは$a$$b$が互いに素であったことに反するので$p$$b$で割りきれず, そのため${\rm mod}\ p$において$b$の逆元$b^{-1}$が存在する. その二乗を両辺に掛ければ
\begin{align} (ab^{-1})^2\equiv-1\ \ ({\rm mod}\ p) \end{align}
と成り, ${\rm mod}\ p$において$-1$が平方剰余であることが従うため, 第一補充則から$p\equiv1\ \ ({\rm mod}\ 4)$が要求される. $\quad\Box$

以下に具体例を示します. 各問題の解答については, 後日に追記するかも知れません.

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初等的な問題

問. $2x^4+2x^2y^2+y^4$が平方数と成るような非負整数$x,y$の組を全て挙げよ. (AoPS, 改)

問. $x^3-x^2+8$が平方数と成るような整数$x$を全て挙げよ. (Ion Cucurezeanu)

問. ある立方数より$7$だけ小さいような平方数を全て挙げよ. (出典不明)

問. 方程式$a^2+b^2+c^2=(ab)^2$の整数解を全て決定せよ. (1976 USAMO)

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有名な問題

問. $8$で割って$5$余る素数が無数に存在することを証明せよ.

問. $2$以上の整数$n$に対して, $n$が二つの平方数の和として表せるために必要かつ充分な条件は, $n$を素因子分解したさいに$4$で割って$3$余る素数の冪指数が全て偶数と成ることである. これを証明せよ.

他にも, ある数$N$$1$を加えたものが$4i+3$型の素因子を持てば, 元の数$N$は平方でないという形で結論を得られることが有る. 例えば次の問題の, $n$が奇数の場合にはこの論証を適用することができる.
(同様に, $2$を加えたり$3$を引いたりして素因子を調べることも時に有効である. )

問. Fibonacci 数列$1,1,2,3,5,8,\ldots$に現れる平方数を全て決定せよ.

この問題の解答 : https://mathlog.info/articles/447
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投稿日:20201115

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投稿者

ゆう
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好きな整数は 0, 1, 1, φ, 2, 5, 6, 12, 89 など. || フィボナッチ数列 bot (@Aureus_N) 管理人. || hatena blog || indeterminate equations involving Fibonacci numbers || Disquisitiones Arithmeticae...

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