特殊な形の不定方程式で有用な解の限定法
前提知識 : 平方剰余の第一補充則 (Euler の規準)
Euler の規準 :
https://mathlog.info/articles/454
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
手法
本記事にて紹介するのは, 次の定理を整数問題に応用する方法です.
任意の非零整数$a,b$に対して, $a$と$b$が互いに素ならば, $a^2+b^2$は$4$で割って$3$余る素因子を持たない.
$p$を$a^2+b^2$の奇素因子の一つとすれば,
\begin{align}
a^2+b^2&\equiv0\ \ ({\rm mod}\ p)\\
a^2&\equiv-b^2\ \ ({\rm mod}\ p)
\end{align}
が成立する. 若し$p\mid b$ならば$p\mid a$であり, これは$a$と$b$が互いに素であったことに反するので$p$は$b$で割りきれず, そのため${\rm mod}\ p$において$b$の逆元$b^{-1}$が存在する. その二乗を両辺に掛ければ
\begin{align}
(ab^{-1})^2\equiv-1\ \ ({\rm mod}\ p)
\end{align}
と成り, ${\rm mod}\ p$において$-1$が平方剰余であることが従うため, 第一補充則から$p\equiv1\ \ ({\rm mod}\ 4)$が要求される. $\quad\Box$
以下に具体例を示します. 各問題の解答については, 後日に追記するかも知れません.
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
初等的な問題
問. $2x^4+2x^2y^2+y^4$が平方数と成るような非負整数$x,y$の組を全て挙げよ. (AoPS, 改)
問. $x^3-x^2+8$が平方数と成るような整数$x$を全て挙げよ. (Ion Cucurezeanu)
問. ある立方数より$7$だけ小さいような平方数を全て挙げよ. (出典不明)
問. 方程式$a^2+b^2+c^2=(ab)^2$の整数解を全て決定せよ. (1976 USAMO)
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
有名な問題
問. $8$で割って$5$余る素数が無数に存在することを証明せよ.
問. $2$以上の整数$n$に対して, $n$が二つの平方数の和として表せるために必要かつ充分な条件は, $n$を素因子分解したさいに$4$で割って$3$余る素数の冪指数が全て偶数と成ることである. これを証明せよ.
他にも, ある数$N$に$1$を加えたものが$4i+3$型の素因子を持てば, 元の数$N$は平方でないという形で結論を得られることが有る. 例えば次の問題の, $n$が奇数の場合にはこの論証を適用することができる.
(同様に, $2$を加えたり$3$を引いたりして素因子を調べることも時に有効である. )
問. Fibonacci 数列$1,1,2,3,5,8,\ldots$に現れる平方数を全て決定せよ.
この問題の解答 :
https://mathlog.info/articles/447
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
$\color{white}.\color{black}$
この記事を高評価した人
この記事に送られたバッジ
投稿者
