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図形の問題

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まえがき

ここの問題は 前回の記事 で説明した手法を使う図形問題を出します。復習問題のようなものですが、前回説明した方法を知らないと難しいかもしれません。
本当は上の記事で出したかったのですが、結果が面白くなったのとその記事が長くなったのとでここで問題を出すことにします。

問題

1 問題 問題
注意O5とは、円の中に5と書かれているものとする。(O5と書こうとすると字が入りませんでした)
右の図で、O1,O2,O3の半径は等しく、O1O3O2の中心で交わっている。
O4O1,O2,O3に接していて、O5O1,O3,O4に接している。
このとき、O5の直径を求めなさい。

2
問題2 問題2
問一のような構成を繰り返してできる円をn個作り、順に1,2,3nとした。
nの直径を求めよ。

解説

まず、この問題を解く際に僕が前回説明を載せた反転を使います。反転についてよく知らない方はまず こちら から見てみてください!(この記事を見たらこの問題はすぐ解けるかもしれません。)

そう、反転を使うとこれが一瞬で解けます!!!(たぶん計算しても解けますがとても複雑になると思います。)
まず少しおさらいです。反転したときの関係はこのようになります。

OOOOOOO

O2を基準として反転をさせます。(O2も反転されています。) 解説1 解説1

まず、O1O3Oを通る円なので反転するとOを通らない直線となり、またOからの距離は0.5だということが簡単にわかる。

反転前にある二つの図形がn個の点を交点に持っていたとすると反転後にもn個の点を交点に持つ。

二つの図形は反転前の交点を反転させたちょうどn個の点で交わることより分かる。

これを使って考えてみましょう!

O4の反転先はどこかを考えます。
まず、O4Oを通らない円なのでOにを通らない円に移ります。
そして、O4O1,O2,O3に接していて、反転前にO4O1が接していた点は反転後も同じ位置にあるのでO4を反転させたO4は下の図のようになります! 解説2 解説2

また、O5の反転先も同じように考えます。
O5Oを通らない円なのでOにを通らない円に移ります。
そして、O5O1,O3,O4に接していて、反転前にO5O4が接していた点はOから縦に引いた直線上(厳密にいうと、OからO1を反転させた線に平行に引いた直線上)にあるOに近い側の点なので、反転後はOから遠いほうの点に移る。よって、 解説3 解説3 O5を反転させたO5は図のようになります!!

O4,O5は半径1の円とわかるので、それを反転前に戻すと 解説4 解説4
よって、O5の直径は1213=16となります。

2番も同じです。
真ん中の円を円Γとしてそれを基準に反転すると 解説 解説
このようになる。よってnの直径は1n1n+1=1n(n+1)となります。

最後に

いかがでしたでしょうか。円が組み合わさってきれいな図形でしたが、直径もまたきれいな値になりました!すごいですね!
 最後まで読んでいただきありがとうございました!

投稿日:20201116
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kozy
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