非ユークリッド平面における敷きつめ問題 4

正三角形が球の表面(kh面)を埋め尽くすことは 以前に書きました。 今度は別の方法で敷きつめてみます。

まず球を正四面体に外接させます。

正四面体の面Sn(nは1から4)はすべて正三角形なので円Enに内接します。Enの中心とSnの外心は一致します。異なる二つの面SiとSjの外心から面に垂直に直線IとJを伸ばすと、一点oで交わります。oから面Siの各頂点までの距離は等しく、また正四面体の定義からSiとSjは2つの頂点を共有するのでSjの各頂点までの距離も等しくなります。詳しくは下の段落(斜体)で書きますが、直感でわかる方は飛ばしてください。

正四面体の異なる二つの面SiとSjは一辺Lを共有します。Lの中心からSiに向けて垂線を延ばすとSiの外心を通ります。同様にLの中心からSjに向けて垂線を延ばすとSjの外心を通ります。またSiもSjも正三角形なのでにLの中心からSi、Sjの外心までの距離は等しいことがわかります。

SiとSjは任意なので、4つの面の外心から伸ばした直線がすべて一点oで交わり、oと正四面体のすべての頂点の距離は等しいことがわかります。

この点oは正四面体の外接球の中心です。つまり球は正四面体に外接します。

外接球には正四面体の4つの頂点が内接していて、任意の二つの頂点をとおるkh面上の直線(大円)を描くことができます。この直線はkh面上に4つの正三角形を描きます。