Hodgeの定理
スピン幾何における解析学
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convention
$(M,g):$コンパクトリーマン多様体
$E^k:=\Lambda^kT^*M$
$E=\bigoplus_k E^k$
$\Gamma(E):E$の滑らかな切断
$C^s(E):E$の$C^s$級の切断
$D_k(E):\Gamma(E)$から$\Gamma(E)$への$k$階の微分作用素
$L^2(E):\Gamma(E)$を完備化して作ったHilbert空間
$H_k(E):\Gamma(E)$を完備化して作った$k$次のSobolev空間
Dirac作用素の解析的性質の記事ではスピン束のDirac作用素について論じましたが、ほとんど同様にしてDirac型の微分作用素に対しても同じ結果が成り立ちます。このことを使ってde Rham cohomology類が調和形式で表されるというHodgeの定理を示します。
de Rham Laplacianを
$$
\Delta=dd^\dagger+d^\dagger d
$$
とします。また
$$
D:=d+d^\dagger
$$
とすると$\Delta=D^2$となりこれはDirac型の微分作用素となります。またコンパクト自己随伴作用素となりDirac作用素と同様の解析的性質が成り立ちます。コンパクト多様体上においては$\ker D=\ker D^2 $なので調和形式$\Delta\alpha=0$が存在することが従います。
また
\begin{align}
f(\lambda):=\begin{cases}
\frac{1}{\lambda^2}\ (\lambda\ne0)\\
0\ (\lambda=0)
\end{cases}
\end{align}
とすると、
$$
G:=f(\bar D^2)
$$
は$spec(\bar D)$上で有界で、$\ker\bar D$以外において$\bar D^2$のGreen作用素となります。また$\Delta$は$d,d^\dagger$と可換なので、$d,d^\dagger$は$\Delta$の固有空間を不変にします。よって$d,d^\dagger$は$G$と可換です。
$k$次de Rham cohomology類の全体を$H^k_{dR}(M)$とするとき、
\begin{align}
\ker(\Delta:\Gamma(E^k)\to\Gamma(E^k))&\to H^k_{dR}(M)\\
\alpha&\mapsto[\alpha]
\end{align}
はベクトル空間の同型である。
$\pi:L^2(E)\to\ker(\bar D)$を直交射影とすると$\bar D^2G=1-\pi$が成り立つから$\Gamma(E)$において
$$
1-\pi=dd^\dagger G+d^\dagger dG
$$
となります。
(i) $\alpha\mapsto[\alpha] $が単射であること
$\alpha\in\ker\Delta$が$[\alpha]=0$であるとすると、$\alpha=d\beta$であるから、
$$
\alpha=d\beta=d(1\beta)=d(\pi+dd^\dagger G+d^\dagger dG)\beta=d\pi\beta+d^\dagger G\alpha
$$
であり、$\ker D\subset\ker d,\ \alpha\in\ker D^2$に注意するとこれは消える。
(ii) $\alpha\mapsto[\alpha] $が全射であること
$\omega\in H^k_{dR}(M)$の代表元を$\alpha$とし、$\beta=\pi(\alpha)$とすると、
$$
\alpha-\beta=(1-\pi)\alpha=(dd^\dagger G+d^\dagger dG)\alpha=d(d^\dagger G\alpha)
$$
となるから、$[\alpha]=[\beta]=\omega$であり、$\beta\in\ker \Delta$を代表元に選ぶことが出来る。
${\rm dim}_\mathbb{R}H^k_{dR}(M)<\infty$
Dirac作用素による固有空間分解 の定理２より${\rm dim}_\mathbb{R}\ker\bar D<\infty$であり、定理１と合わせると主張が従う。