Hodgeの定理

convention
$(M, g) :$ コンパクトリーマン多様体
$E^{k} := Λ^{k} T^{*} M$
$E = ⨁_{k} E^{k}$
$Γ (E) : E$ の滑らかな切断
$C^{s} (E) : E$ の $C^{s}$ 級の切断
$D_{k} (E) : Γ (E)$ から $Γ (E)$ への $k$ 階の微分作用素
$L^{2} (E) : Γ (E)$ を完備化して作ったHilbert空間
$H_{k} (E) : Γ (E)$ を完備化して作った $k$ 次のSobolev空間

　Dirac作用素の解析的性質の記事ではスピン束のDirac作用素について論じましたが、ほとんど同様にしてDirac型の微分作用素に対しても同じ結果が成り立ちます。このことを使ってde Rham cohomology類が調和形式で表されるというHodgeの定理を示します。

　de Rham Laplacianを
$Δ = d d^{†} + d^{†} d$
とします。また
$D := d + d^{†}$
とすると $Δ = D^{2}$ となりこれはDirac型の微分作用素となります。またコンパクト自己随伴作用素となりDirac作用素と同様の解析的性質が成り立ちます。コンパクト多様体上においては $\ker D = \ker D^{2}$ なので調和形式 $Δ α = 0$ が存在することが従います。

また
$\begin{array}{r} f (λ) := {\begin{cases} \frac{1}{λ^{2}} (λ \neq 0) \\ 0 (λ = 0) \end{cases} \end{array}$
とすると、
$G := f ({\bar{D}}^{2})$
は $s p e c (\bar{D})$ 上で有界で、 $\ker \bar{D}$ 以外において ${\bar{D}}^{2}$ のGreen作用素となります。また $Δ$ は $d, d^{†}$ と可換なので、 $d, d^{†}$ は $Δ$ の固有空間を不変にします。よって $d, d^{†}$ は $G$ と可換です。

Hodgeの定理

$k$ 次de Rham cohomology類の全体を $H_{d R}^{k} (M)$ とするとき、
$\begin{aligned} \ker (Δ : Γ (E^{k}) \to Γ (E^{k})) & \to H_{d R}^{k} (M) \\ α & \mapsto [α] \end{aligned}$
はベクトル空間の同型である。

$π : L^{2} (E) \to \ker (\bar{D})$ を直交射影とすると ${\bar{D}}^{2} G = 1 - π$ が成り立つから $Γ (E)$ において
$1 - π = d d^{†} G + d^{†} d G$
となります。

(i) $α \mapsto [α]$ が単射であること
$α \in \ker Δ$ が $[α] = 0$ であるとすると、 $α = d β$ であるから、
$α = d β = d (1 β) = d (π + d d^{†} G + d^{†} d G) β = d π β + d^{†} G α$
であり、 $\ker D \subset \ker d, α \in \ker D^{2}$ に注意するとこれは消える。

(ii) $α \mapsto [α]$ が全射であること
$ω \in H_{d R}^{k} (M)$ の代表元を $α$ とし、 $β = π (α)$ とすると、
$α - β = (1 - π) α = (d d^{†} G + d^{†} d G) α = d (d^{†} G α)$
となるから、 $[α] = [β] = ω$ であり、 $β \in \ker Δ$ を代表元に選ぶことが出来る。