結局示す補題1.4

体論,付値論

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はじめに

前回の記事で帰納法が回るところは示さないとか言ってましたが，示した方が絶対に良いのでそうします．というか示さないとなんだかおさまりが悪くて．

どんな定理だっけ

示すのは次の定理でしたね．

$\nu_1,\cdots,\nu_n(n\geq2)$を互いに同値でない$K$の付値とすれば，$K$の元$x$が存在して，
$$\nu_1(1-x)>0,\quad \nu_2(x)>0,\quad \cdots,\quad \nu_n(x)>0 $$
が成り立つ．

$n=2$の時は参考文献[2]で示したので，$n\ge 3$として帰納法が回るかどうかを示します．

仮定より，
$$\nu_1(1-x_1)>0,\quad \nu_3(x_1)>0,\quad \nu_4(x_1)>0,\quad\cdots,\quad \nu_n(x_1)>0 $$
$$\nu_1(1-x_2)>0,\quad \nu_2(x_2)>0,\quad \nu_4(x_2)>0,\quad \cdots,\quad \nu_n(x_2)>0 $$
をみたす$K$の元$x_1,x_2$が存在する．そこで，

$\nu_2(x_1)\ge 0,\nu_3(x_2)\ge0$のときは，$x=x_1x_2$と定義すれば，
$\nu_2(x_1)<0$のときは，$x=\dfrac{x_1}{1+x_1(1-x_1)} $と定義すれば，
$\nu_2(x_1)\ge0,\nu_3(x_2)<0$のときは，$x=\dfrac{x_2}{1+x_2(1-x_2)} $と定義すればよい．

計算を地道にやってみます．コレガメンドウ．
(i)$\nu(1-x)>0,\nu(1-y)>0$のとき，$\nu(1-xy)=\nu((1-x)+x(1-y))$と$\nu(x)=0$より$\nu(1-xy)>0$．

(ii)$\nu(x)>0$のとき，$\nu\left(\dfrac{x}{1+x(1-x)}\right)=\nu\left(\dfrac{1}{1/x+(1-x)}\right)=-\min(-\nu(x),\nu(1-x))>0$である．

(iii)$\nu(1-x)>0$のとき，
$\nu\left(1-\dfrac{x}{1+x(1-x)}\right)=\nu\left(\dfrac{1-x^2}{1+x(1-x)}\right)=\nu\left(\dfrac{1}{1/(1-x^2)+x/(1+x)}\right)$．$-\min(-\nu(1-x^2),\nu(x)-\nu(1+x))$を調べる．$\nu(1-x)+\nu(1+x)>0$より，$\nu\left(1-\dfrac{x}{1+x(1-x)}\right)>0$．

(iv)$\nu(x)<0$のとき，$\nu\left(\dfrac{x}{1+x(1-x)}\right)=\nu\left(\dfrac{1}{1/x+(1-x)}\right)=-\min(-\nu(x),\nu(1-x))$で，$\nu(1-x)=\min(0,\nu(x))<0$より，$\nu\left(\dfrac{x}{1+x(1-x)}\right)>0． $

これらより，帰納法が回ります．