結局示す補題1.4

体論,付値論

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はじめに

前回の記事で帰納法が回るところは示さないとか言ってましたが，示した方が絶対に良いのでそうします．というか示さないとなんだかおさまりが悪くて．

どんな定理だっけ

示すのは次の定理でしたね．

$ν_{1}, \dots, ν_{n} (n \geq 2)$ を互いに同値でない $K$ の付値とすれば， $K$ の元 $x$ が存在して，
$ν_{1} (1 - x) > 0, ν_{2} (x) > 0, \dots, ν_{n} (x) > 0$
が成り立つ．

$n = 2$ の時は参考文献[2]で示したので， $n \geq 3$ として帰納法が回るかどうかを示します．

仮定より，
$ν_{1} (1 - x_{1}) > 0, ν_{3} (x_{1}) > 0, ν_{4} (x_{1}) > 0, \dots, ν_{n} (x_{1}) > 0$
$ν_{1} (1 - x_{2}) > 0, ν_{2} (x_{2}) > 0, ν_{4} (x_{2}) > 0, \dots, ν_{n} (x_{2}) > 0$
をみたす $K$ の元 $x_{1}, x_{2}$ が存在する．そこで，

$ν_{2} (x_{1}) \geq 0, ν_{3} (x_{2}) \geq 0$ のときは， $x = x_{1} x_{2}$ と定義すれば，
$ν_{2} (x_{1}) < 0$ のときは， $x = \frac{x_{1}}{1 + x_{1} (1 - x_{1})}$ と定義すれば，
$ν_{2} (x_{1}) \geq 0, ν_{3} (x_{2}) < 0$ のときは， $x = \frac{x_{2}}{1 + x_{2} (1 - x_{2})}$ と定義すればよい．

計算を地道にやってみます．コレガメンドウ．
(i) $ν (1 - x) > 0, ν (1 - y) > 0$ のとき， $ν (1 - x y) = ν ((1 - x) + x (1 - y))$ と $ν (x) = 0$ より $ν (1 - x y) > 0$ ．

(ii) $ν (x) > 0$ のとき， $ν (\frac{x}{1 + x (1 - x)}) = ν (\frac{1}{1 / x + (1 - x)}) = - min (- ν (x), ν (1 - x)) > 0$ である．

(iii) $ν (1 - x) > 0$ のとき，
$ν (1 - \frac{x}{1 + x (1 - x)}) = ν (\frac{1 - x^{2}}{1 + x (1 - x)}) = ν (\frac{1}{1 / (1 - x^{2}) + x / (1 + x)})$ ． $- min (- ν (1 - x^{2}), ν (x) - ν (1 + x))$ を調べる． $ν (1 - x) + ν (1 + x) > 0$ より， $ν (1 - \frac{x}{1 + x (1 - x)}) > 0$ ．

(iv) $ν (x) < 0$ のとき， $ν (\frac{x}{1 + x (1 - x)}) = ν (\frac{1}{1 / x + (1 - x)}) = - min (- ν (x), ν (1 - x))$ で， $ν (1 - x) = min (0, ν (x)) < 0$ より， $ν (\frac{x}{1 + x (1 - x)}) > 0 ．$