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『代数函数論』補題1.4を示そう！

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はじめに

ぼくはこの補題から表題の本が読みにくくなってきたのですが，皆さんはどうだったのでしょうか．ちょっと先出しで主張を覗いてみましょう．前の記事と同様に，付値といえばdiscreteな指数付値を考えます．

$ν_{1}, \dots, ν_{n} (n \geq 2)$ を互いに同値でない $K$ の付値とすれば， $K$ の元 $x$ が存在して，
$ν_{1} (1 - x) > 0, ν_{2} (x) > 0, \dots, ν_{n} (x) > 0$
が成り立つ．

ついでに次の補題も見ておきます（後で示します）．

$ν (x) \neq ν (y)$ ならば， $ν (x + y) = min (ν (x), ν (y))$ である．

この補題より，定理1における $x$ は $ν_{1} (x) = 0$ を満たさなければいけません（ $ν_{1} (x) \neq 0$ ならば，補題2より $ν_{1} (1 - x) = min (0, ν_{1} (x)) \leq 0$ となってしまう）．また，定理1の主張をみたす $x$ として $1$ は不適です（ $ν (0) = \infty$ , $ν (1) = 0$ より）．吟味できましたね．

定理1で用いる補題の証明

補題2の証明

一般に， $ν (x) = ν (x + y - y) \geq min (ν (x + y), ν (y))$ が成り立つ．ここで， $ν (y) > ν (x)$ と仮定すれば，矛盾を生じないためには $ν (x) \geq ν (x + y)$ でなければならない． $ν (x + y) \geq min (ν (x), ν (y)) \geq ν (x)$ より， $ν (x + y) = ν (x)$ ． $ν (x) > ν (y)$ と仮定しても同様なので，これで補題2が証明できた．

$ν_{1}, ν_{2}$ を $K$ の付値とする． $ν_{1} (x) \geq 0$ のとき常に $ν_{2} (x) \geq 0$ ならば， $ν_{1} \sim ν_{2}$

$ν_{1}, ν_{2}$ の付値環及び素イデアルをそれぞれ $A_{1}, p_{1}, A_{2}, p_{2}$ とすれば，仮定により $A_{1} \subset A_{2}$ よって $A_{1} \cap p_{2}$ は $A_{1}$ の素イデアルであるが，離散付値環はPIDで局所環であることを思い出せば， $p_{1} = A_{1} \cap p_{2}$ が成り立つ．
　さて， $ν_{1} (x) < 0$ ならば， $ν_{1} (1 / x) > 0$ より， $1 / x \in p_{1}$ ．よって $1 / x \in p_{2}$ つまり， $ν_{2} (1 / x) > 0$ ．換言すれば $ν_{2} (x) < 0$ ．対偶をとって， $ν_{2} (x) \geq 0$ ならば $ν_{1} (x) \geq 0$ ．つまり， $A_{2} \subset A_{1}$ ．よって $ν_{1}, ν_{2}$ から得られる付値環および素イデアルは一致する．よって $ν_{1} \sim ν_{2}$ が言える（以下の補題参照）．

$ν_{1}, ν_{2}$ から得られる付値環および素イデアルが一致するならば $ν_{1} \sim ν_{2}$ である．

$ν$ が正規付値のとき， $ν (c) = n ⟺ (c) = p^{n}$ をいう（ $c \neq 0$ ）．
$ν (c) = n$ ならば， $ν (a c) = ν (a) + ν (c) \geq ν (c) = n$ より， ${ν (x) | x \in (c)}$ の最小値は $n$ ．よって参考文献[3]の命題6の証明より $(c) = p^{n}$ である．これが任意の $n$ について成り立ち，結果が排反なのでので，逆が成り立つ．よって $ν (c) = n ⟺ (c) = p^{n}$ である（これは青雪江の体論のところに載っている論法ですね）．よって補題の主張が正しいことが分かります．

定理1の証明

帰納法で示す．
まず， $n = 2$ の時を示す．補題3より， $ν_{1} (a) \geq 0, ν_{2} (a) < 0$ をみたす $a$ が存在する． $a \neq 0, \pm 1$ は $ν_{2} (a) < 0$ より明らか． $ν_{1} (a) = 0$ の時は $x_{1} = 1 / a$ ， $ν_{1} (a) > 0$ の時は $x_{1} = 1 / (1 + a)$ とおけば， $ν_{1} (x_{1}) = 0, ν_{2} (x_{1}) > 0$ が計算によって分かる（ $ν_{2} (1 / (1 + a)) > 0$ は， $ν_{2} (1 + a) = ν_{2} (a) < 0$ より分かります）．同様にして， $ν_{1} (x_{2}) > 0, ν_{2} (x_{2}) = 0$ をみたす $x_{2}$ が存在します．そこで， $x = x_{1} / (x_{1} + x_{2})$ とおけば， $ν_{1} (1 - x) > 0, ν_{2} (x) > 0$ が計算によって分かります．
帰納法が回ることは省略します．