『代数函数論』補題1.4を示そう！

一般に，$\nu(x)=\nu(x+y-y)\ge\min(\nu(x+y),\nu(y))$が成り立つ．ここで，$\nu(y)>\nu(x)$と仮定すれば，矛盾を生じないためには$\nu(x)\ge\nu(x+y)$でなければならない．$\nu(x+y)\ge\min(\nu(x),\nu(y))\ge\nu(x)$より，$\nu(x+y)=\nu(x)$．$\nu(x)>\nu(y)$と仮定しても同様なので，これで補題2が証明できた．

$\nu_1,\nu_2$の付値環及び素イデアルをそれぞれ$A_1,\mathfrak{p}_1,A_2,\mathfrak{p}_2$とすれば，仮定により$A_1\subset A_2$よって$A_1\cap\mathfrak{p}_2$は$A_1$の素イデアルであるが，離散付値環はPIDで局所環であることを思い出せば，$\mathfrak{p}_1=A_1\cap\mathfrak{p}_2$が成り立つ．
　さて，$\nu_1(x)<0$ならば，$\nu_1(1/x)>0$より，$1/x\in\mathfrak{p}_1$．よって$1/x\in\mathfrak{p}_2$つまり，$\nu_2(1/x)>0$．換言すれば$\nu_2(x)<0$．対偶をとって，$\nu_2(x)\ge 0$ならば$\nu_1(x)\ge 0$．つまり，$A_2\subset A_1$．よって$\nu_1,\nu_2$から得られる付値環および素イデアルは一致する．よって$\nu_1\sim\nu_2$が言える（以下の補題参照）．

$\nu$が正規付値のとき，$\nu(c)=n\Longleftrightarrow(c)=\mathfrak{p^n}$をいう（$c\neq 0$）．
$\nu(c)=n$ならば，$\nu(ac)=\nu(a)+\nu(c)\ge\nu(c)=n$より，$\{\nu(x)|x\in(c)\}$の最小値は$n$．よって参考文献[3]の命題6の証明より$(c)=\mathfrak{p^n}$である．これが任意の$n$について成り立ち，結果が排反なのでので，逆が成り立つ．よって$\nu(c)=n\Longleftrightarrow(c)=\mathfrak{p^n}$である（これは青雪江の体論のところに載っている論法ですね）．よって補題の主張が正しいことが分かります．

帰納法で示す．
まず，$n=2$の時を示す．補題3より，$\nu_1(a)\ge0, \nu_2(a)<0$をみたす$a$が存在する．$a\neq 0,\pm1$は$\nu_2(a)<0$より明らか．$\nu_1(a)=0$の時は$x_1=1/a$，$\nu_1(a)>0$の時は$x_1=1/(1+a)$とおけば，$\nu_1(x_1)=0,\nu_2(x_1)>0$が計算によって分かる（$\nu_2(1/(1+a))>0$は，$\nu_2(1+a)=\nu_2(a)<0$より分かります）．同様にして，$\nu_1(x_2)>0,\nu_2(x_2)=0$をみたす$x_2$が存在します．そこで，$x=x_1/(x_1+x_2)$とおけば，$\nu_1(1-x)>0,\nu_2(x)>0$が計算によって分かります．
帰納法が回ることは省略します．