Askey-Wilson多項式のq積分表示
$q$積分を
\begin{align}
\int_a^bf(t)\,d_qt:=\sum_{0\leq n}(bq^nf(bq^n)-aq^nf(aq^n))
\end{align}
とする. このとき, Askey-Wilson多項式は以下のような$q$積分による表示を持つ.
$x:=\cos\theta$とするとき,
\begin{align}
p_n(x;a,b,c,d|q)&=\frac{2i(ab,ac,bc;q)_n}{(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)}\\
&\qquad\cdot\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\frac{(d/u;q)_n}{(abcu;q)_n}u^n\,d_qu
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
w(x;a,b,c,d|q):=\frac{(e^{2i\theta},e^{-2i\theta};q)_{\infty}}{(ae^{i\theta},ae^{-i\theta},be^{i\theta},be^{-i\theta},ce^{i\theta},ce^{-i\theta},de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}\sin\theta}
\end{align}
である.
まず,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\frac{(d/u;q)_n}{(abcu;q)_n}u^n\,d_qu\\
&=(-d)^nq^{-\binom n2}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcuq^n,uq^{1-n}/d;q)_{\infty}}{(au,bu,cu,uq/d;q)_{\infty}}\,d_qu
\end{align}
と書き換えられる. ここで,
non-terminating $q$-Whippleの変換公式の$q$積分表示
\begin{align}
&\int_a^b\frac{(tq/a,tq/b,ct,dt;q)_{\infty}}{(et,ft,gt,ht;q)_{\infty}}\,d_qt\\
&=(b-a)\frac{(bc,bd,cd/eh,cd/fh,cd/gh,aq/b,bq/a,q;q)_{\infty}}{(bcd/h,be,bf,bg,bh,ae,af,ag;q)_{\infty}}W(bcd/hq;c/h,d/h,be,bf,bg;ah)\qquad cd=abefgh
\end{align}
を用いると,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcuq^n,uq^{1-n}/d;q)_{\infty}}{(au,bu,cu,uq/d;q)_{\infty}}\,d_qu\\
&=(e^{-i\theta}-e^{i\theta})\frac{(abce^{-i\theta}q^n,e^{-i\theta}q^{1-n}/d,ab,ac,bc,e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q,q;q)_{\infty}}{(abce^{-i\theta},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},e^{-i\theta}q/d,ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot W(abce^{-i\theta}/q;abcdq^{n-1},q^{-n},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};e^{i\theta}q/d)
\end{align}
を得る. この右辺に対して
Watsonの変換公式
を用いると
\begin{align}
&W(abce^{-i\theta}/q;abcdq^{n-1},q^{-n},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta};e^{i\theta}q/d)\\
&=\frac{(abce^{-i\theta},q^{1-n}/ad;q)_n}{(e^{-i\theta}q^{1-n}/d,bc;q)_n}\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\
&=\frac{(abce^{-i\theta},ad;q)_n}{(de^{i\theta},bc;q)_n}a^{-n}e^{in\theta}\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},ae^{i\theta},ae^{-i\theta}}{ab,ac,ad}q\\
&=\frac{(abce^{-i\theta};q)_n}{(de^{i\theta},ab,ac,bc;q)_n}e^{in\theta}p_n(x;a,b,c,d|q)
\end{align}
となるから,
\begin{align}
&\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq,abcu;q)_{\infty}}{(au,bu,cu;q)_{\infty}}\frac{(d/u;q)_n}{(abcu;q)_n}u^n\,d_qu\\
&=(-d)^nq^{-\binom n2}(e^{-i\theta}-e^{i\theta})\frac{(abce^{-i\theta}q^n,e^{-i\theta}q^{1-n}/d,ab,ac,bc,e^{2i\theta}q,e^{-2i\theta}q,q;q)_{\infty}}{(abce^{-i\theta},ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},e^{-i\theta}q/d,ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}\\
&\qquad\cdot\frac{(abce^{-i\theta};q)_n}{(de^{i\theta},ab,ac,bc;q)_n}e^{in\theta}p_n(x;a,b,c,d|q)\\
&=\frac 1{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}\frac{(ab,ac,bc,e^{2i\theta},e^{-2i\theta},q;q)_{\infty}}{(ae^{-i\theta},be^{-i\theta},ce^{-i\theta},ae^{i\theta},be^{i\theta},ce^{i\theta};q)_{\infty}}\frac{1}{(ab,ac,bc;q)_n}p_n(x;a,b,c,d|q)\\
&=\frac{(q,ab,ac,bc,de^{i\theta},de^{-i\theta};q)_{\infty}w(x;a,b,c,d|q)}{2i(ab,ac,bc;q)_n}p_n(x;a,b,c,d|q)
\end{align}
となって示すべき等式が得られる.
定理1の$q$積分は$q$モーメントの形ではないが, $c=d=0$の場合は
\begin{align}
p_n(x;a,b,0,0|q)&=\frac{2i(ab;q)_n}{(q,ab;q)_{\infty}w(x;a,b,0,0|q)}\int_{e^{i\theta}}^{e^{-i\theta}}\frac{(e^{i\theta}uq,e^{-i\theta}uq;q)_{\infty}}{(au,bu;q)_{\infty}}u^n\,d_qu
\end{align}
となって$q$モーメントの形になる. この左辺はAl-Salam-Chihara多項式と呼ばれるものである. このように特別な場合には綺麗な$q$モーメントによる表示が得られるが, 一般のAskey-Wilson多項式の$q$モーメントによる表示についても気になるところである.
