今回は積分・級数botの この積分 を解きます。
∫01logΓ(x)dx=12log2π
logの中にπがあるのは珍しい気がします。解くためにガンマ関数の相反公式を使います。
Γ(x)Γ(1−x)=πsinπx
I=∫01logΓ(x)dx=∫01logΓ(1−x)dx=12∫01logΓ(x)Γ(1−x)dx=12∫01logπsinπxdx=12∫01logπdx−12∫01logsinπxdx=12logπ−12π∫0πlogsinxdx=12logπ+12log2=12log2π
∫0πlogsinxdx=−πlog2の証明は この記事 でやってます。
でたぁー!!おしまーい
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