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便利さんの積分・級数botを解く②

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積分を解く

今回は積分・級数botの この積分 を解きます。

解く積分

$$\int_{0}^{1}\log\Gamma(x)dx=\frac{1}{2}\log2\pi$$

$\log$の中に$\pi$があるのは珍しい気がします。
解くためにガンマ関数の相反公式を使います。

相反公式

$$\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{\sin\pi x}$$

\begin{align} I&=\int_{0}^{1}\log\Gamma(x)dx \\&=\int_{0}^{1}\log\Gamma(1-x)dx \\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\log\Gamma(x)\Gamma(1-x)dx \\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\log\frac{\pi}{\sin\pi x}dx \\&=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\log\pi dx- \frac{1}{2}\int_{0}^{1}\log\sin\pi xdx \\&=\frac{1}{2}\log\pi-\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{\pi}\log\sin xdx \\&=\frac{1}{2}\log\pi+\frac{1}{2}\log2 \\&=\frac{1}{2}\log2\pi \end{align}

$$\int_{0}^{\pi}\log\sin xdx=-\pi\log2$$
の証明は この記事 でやってます。

でたぁー!!
おしまーい

投稿日:202389

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ららら
ららら
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適当に書きたいことを書きます。

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