位相空間における収束（随時更新）

位相空間,Tychonoffの定理,コンパクト性

お断り

以下で使用している用語等に適切でないものが含まれる可能性があります．お気づきの点があればご指摘をいただけると幸いです．
写像 $f : X \to Y$ と $X$ の部分集合族 $A$ に対して， $Y$ の部分集合族 ${A \in P (Y) ∣ f^{- 1} (A) \in A}$ を $f (A)$ とかきます．
位相空間 $X$ の開集合系を $O_{X}$ ， $x \in X$ の開近傍系を $O_{X} (x)$ などとかきます．

収束点

$X$ を位相空間とする． $x \in X$ が $X$ 上の有限交叉族 $A$ の収束点であるとは， $O_{X} (x) \subset A$ が成り立つことをいう．

$X$ を位相空間とする． $x \in X$ が $X$ 上の有限交叉族 $A$ の収積点であるとは， $O_{X} (x) \cup A$ が $X$ 上の有限交叉族であることをいう．

$X$ を位相空間とする． $x \in X$ と $X$ 上のフィルター基 $B$ に対して，以下は同値である．
(1) $x$ は $B$ の収積点である．
(2) 任意の $V \in O_{X} (x)$ と $A \in B$ に対して， $V \cap A \neq \emptyset$ である．
(3) $x \in ⋂_{A \in B} {Cl}_{X} (A)$ が成り立つ．

連続写像

位相空間の間の写像 $f : X \to Y$ と $x \in X$ に対して，以下は同値である．
(1) $f$ は $x$ で連続である．
(2) 任意の $X$ 上の有限交叉族 $A$ に対して， $x$ が $A$ の収束点であれば $f (x)$ は $f (A)$ の収束点である．

(1)⇒(2) $X$ 上の有限交叉族 $A$ を任意にとり， $x$ が $A$ の収束点であると仮定する．任意の $V \in O_{Y} (f (x))$ に対して $f$ の $x$ における連続性より $f^{- 1} (V) \in O_{X} (x) \subset A$ すなわち $V \in f (A)$ が成り立つから， $f (x)$ は $f (A)$ の収束点である．

(2)⇒(1) $x$ は $O_{X} (x)$ の収束点であるから，仮定より $f (x)$ は $f (O_{X} (x))$ の収束点である．任意の $V \in O_{Y} (f (x)) \subset f (O_{X} (x))$ に対して $f^{- 1} (V) \in O_{X} (x)$ が成り立つから， $f$ は $x$ で連続である．

${f_{λ} : X \to Y_{λ}}_{λ \in Λ}$ を連続写像の族とする． $O_{X}$ が ${f_{λ}}_{λ \in Λ}$ によって誘導される位相であるとき， $x \in X$ と $X$ 上のフィルター $F$ に対して以下は同値である．
(1) $x$ は $F$ の収束点である．
(2) 任意の $λ \in Λ$ に対して， $f_{λ} (x)$ は $f_{λ} (F)$ の収束点である．

(1)⇒(2) 命題2より従う．

(2)⇒(1) $V \in O_{X} (x)$ を任意にとり， $x \in ⋂_{0 \leq i < n} {f_{λ_{i}}}^{- 1} (A_{i}) \subset V$ なる族 ${(λ_{i}, A_{i}) \in Λ \times O_{X_{λ_{i}}} (f_{λ_{i}} (x))}_{0 \leq i < n}$ をとる．任意の $i$ に対して $A_{i} \in O_{X_{λ_{i}}} (f_{λ_{i}} (x)) \subset f_{λ} (F)$ より ${f_{λ_{i}}}^{- 1} (A_{i}) \in F$ が成り立つから， $V \in F$ が成り立つ．

連続な単射 $f : X \to Y$ に対して，以下は同値である．
(1) 任意の $X$ 上の有限交叉族 $A$ と $f (A)$ の収束点 $y$ に対して， $y \in f (X)$ が成り立つ．
(2) $f (X)$ は $Y$ の閉集合である．

(1)⇒(2) $y \in Cl (f (X))$ を任意にとり， $X$ 上の有限交叉族 $A$ を $A : = {f^{- 1} (V) ∣ V \in O_{Y} (y)}$ により定める．任意の $V \in O_{Y} (y)$ に対して $f^{- 1} (V) \in A$ より $V \in f (A)$ が成り立つから， $y$ は $f (A)$ の収束点であり $y \in f (X)$ が成り立つ．

(2)⇒(1) $X$ 上の有限交叉族 $A$ と $f (A)$ の収束点 $y$ を任意にとる．任意の $V \in O_{Y} (y)$ に対して $V \in f (A)$ より $f^{- 1} (V) \in A$ であるから， $V \cap f (X) = f (f^{- 1} (V)) \neq \emptyset$ であり $y \in Cl (f (X)) = f (X)$ が成り立つ．

コンパクト性

位相空間 $X$ が準コンパクトであるとは，任意の $X$ 上の超フィルター $U$ に対して $U$ の収束点が存在することをいう．

以下は同値である．
(1) $X$ は準コンパクトである．
(2) 任意の $X$ 上の有限交叉族 $A$ に対して， $A$ の収積点が存在する．
(3) 任意の $X$ 上の有限交叉族 $A$ に対して， $⋂_{A \in A} {Cl}_{X} (A) \neq \emptyset$ である．
(4) $X$ の任意の開被覆 $C$ に対して， $C$ の有限部分集合であって $X$ を被覆するものが存在する．

(1)⇒(2) $X$ 上の有限交叉族 $A$ を任意にとり， $A \subset U$ なる $X$ 上の超フィルター $U$ と $U$ の収束点 $x$ をとる． $O_{X} (x) \cup A \subset U$ より， $O_{X} (x) \cup A$ は $X$ 上の有限交叉族である．

(2)⇒(1) $X$ 上の超フィルター $U$ と $U$ の収積点 $x$ を任意にとる． $O_{X} (x) \cup U \supset U$ は $X$ 上の有限交叉族であるから， $U$ の極大性より $O_{X} (x) \subset O_{X} (x) \cup U = U$ が成り立つ．よって， $X$ は準コンパクトである．

(2)⇒(3) $X$ 上の有限交叉族 $A$ を任意にとり， $A$ の収積点 $x$ と $O_{X} (x) \cup A \subset B$ なる $X$ 上のフィルター基 $B$ をとる． $x$ は $B$ の収積点であるから，補題1より $x \in ⋂_{A \in B} {Cl}_{X} (A) \subset ⋂_{A \in A} {Cl}_{X} (A)$ が成り立つ．

(3)⇒(2) $X$ 上の有限交叉族 $A$ を任意にとり， $A \subset B$ なる $X$ 上のフィルター基 $B$ と $x \in ⋂_{A \in B} {Cl}_{X} (A)$ をとる．補題1より $x$ は $B$ の収積点であるから， $A$ の収積点でもある．

(3)⇔(4) 明らか．

位相空間 $X$ がHausdorffであるとは，任意の $X$ 上の超フィルター $U$ に対して $U$ の収束点が一意的であることをいう．

以下は同値である．
(1) $X$ はHausdorffである．
(2) 任意の $x_{0}, x_{1} \in X$ に対して， $O_{X} (x_{0}) \cup O_{X} (x_{1})$ が $X$ 上の有限交叉族であれば $x_{0} = x_{1}$ が成り立つ．
(3) 任意の相異なる $x_{0}, x_{1} \in X$ に対して，ある $V_{0} \in O_{X} (x_{0})$ と $V_{1} \in O_{X} (x_{1})$ が存在して $V_{0} \cap V_{1} = \emptyset$ である．
(4) $Δ X$ は $X \times X$ の閉集合である．

$ι$ を包含写像 $Δ X \to X \times X$ ， $π_{0}, π_{1}$ を標準射影 $X \times X \to X$ ， $φ$ を $π_{0} \circ ι$ の逆写像 $X \to Δ X$ とする．

(1)⇒(2) $x_{0}, x_{1} \in X$ を任意にとる． $O_{X} (x_{0}) \cup O_{X} (x_{1})$ が $X$ 上の有限交叉族であると仮定し， $O_{X} (x_{0}) \cup O_{X} (x_{1}) \subset U$ なる $X$ 上の超フィルター $U$ をとる． $x_{0}, x_{1}$ は $U$ の収束点であるから， $x_{0} = x_{1}$ が成り立つ．

(2)⇒(1) $X$ 上の超フィルター $U$ と $U$ の収束点 $x_{0}, x_{1}$ を任意にとる． $O_{X} (x_{0}) \cup O_{X} (x_{1}) \subset U$ より $O_{X} (x_{0}) \cup O_{X} (x_{1})$ は $X$ 上の有限交叉族であるから， $x_{0} = x_{1}$ が成り立つ．よって， $X$ はHausdorffである．

(2)⇔(3) 明らか．

(1)⇒(4) $Δ X$ 上の有限交叉族 $A$ と $ι (A)$ の収束点 $(x_{0}, x_{1})$ を任意にとり， $A \subset U$ なる $Δ X$ 上の超フィルター $U$ をとる． $O_{X \times X} ((x_{0}, x_{1})) \subset ι (A) \subset ι (U)$ より $(x_{0}, x_{1})$ は $ι (U)$ の収束点であるから，命題2より $x_{0}, x_{1} \in X$ は $π_{0} (ι (U)) = π_{1} (ι (U))$ の収束点である． $X$ のHausdorff性より $x_{0} = x_{1}$ が成り立つから， $(x_{0}, x_{1}) \in Δ X$ が成り立つ．よって命題4より， $Δ X$ は $X \times X$ の閉集合である．

(4)⇒(1) $X$ 上の超フィルター $U$ と $U = π_{0} (ι (φ (U))) = π_{1} (ι (φ (U)))$ の収束点 $x_{0}, x_{1}$ を任意にとる．命題3より， $(x_{0}, x_{1})$ は $ι (φ (U))$ の収束点である． $Δ X$ が $X \times X$ の閉集合であることと命題4より $(x_{0}, x_{1}) \in Δ X$ が成り立つから， $x_{0} = x_{1}$ が成り立つ．よって， $X$ はHausdorffである．

位相空間 $X$ がコンパクトであるとは， $X$ が準コンパクトかつHausdorffであることをいう．

コンパクト性の遺伝

準コンパクト空間の族 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ に対して， $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ は準コンパクトである．

$π_{λ}$ を標準射影 $\prod_{λ \in Λ} X_{λ} \to X_{λ}$ とする．

$\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ 上の超フィルター $U$ を任意にとる．各 $λ \in Λ$ に対して， $X_{λ}$ の準コンパクト性より $π_{λ} (U)$ の収束点 $x_{λ}$ をとれる．命題3より $(x_{λ})_{λ \in Λ}$ は $U$ の収束点であるから， $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ は準コンパクトである．

Hausdorff空間の族 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ に対して， $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ はHausdorffである．

$π_{λ}$ を標準射影 $\prod_{λ \in Λ} X_{λ} \to X_{λ}$ とする．

$\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ 上の超フィルター $U$ と $U$ の収束点 $({x_{0}}_{λ})_{λ \in Λ}, ({x_{1}}_{λ})_{λ \in Λ}$ を任意にとる．任意の $λ \in Λ$ に対して，命題2より ${x_{0}}_{λ}, {x_{1}}_{λ}$ は $π_{λ} (U)$ の収束点であるから $X_{λ}$ のHausdorff性より ${x_{0}}_{λ} = {x_{1}}_{λ}$ が成り立つ．よって $({x_{0}}_{λ})_{λ \in Λ} = ({x_{1}}_{λ})_{λ \in Λ}$ が成り立つから， $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ はHausdorffである．

Tychonoffの定理

コンパクト空間の族 ${X_{λ}}_{λ \in Λ}$ に対して， $\prod_{λ \in Λ} X_{λ}$ はコンパクトである．

命題7，命題8より従う．

準コンパクト空間 $X$ に対して， $X$ の閉部分空間 $S$ は準コンパクトである．

$ι$ を包含写像 $S \to X$ とする．

$S$ 上の超フィルター $U$ を任意にとり， $ι (U)$ の収束点 $x$ をとる． $S$ は $X$ の閉集合であるから，命題4より $x \in S$ が成り立つ．命題3より $x$ は $U$ の収束点であるから， $S$ は準コンパクトである．

Hausdorff空間 $X$ に対して， $X$ の部分空間 $S$ はHausdorffである．

$ι$ を包含写像 $S \to X$ とする．

$S$ 上の超フィルター $U$ と $U$ の収束点 $x_{0}, x_{1}$ を任意にとる．命題2より $x_{0}, x_{1}$ は $ι (U)$ の収束点であるから， $X$ のHausdorff性より $x_{0} = x_{1}$ が成り立つ．よって， $S$ はHausdorffである．