群の作用
群作用の定義
この記事では左作用について考えることにする．
集合$X$に対して，$\mathfrak{S}(X)$を$X$から$X$への全単射全体とする．$\mathfrak{S}(X)$は合成に関して群となり，これを$X$上の置換群(permutation group)という．
$\mathfrak{S}(\{1,\cdots,n\})=\mathfrak{S}_n$($n$次対称群)である．
$X$を集合，$\mathfrak{S}(X)$を$X$上の置換群，$G$を群とする．
群準同型$\rho:G\to\mathfrak{S}(X)$が存在するとき，$G$は$X$に作用する(act)といい$G\curvearrowright X$とかく．このとき，
$$a_\rho:G\times X\to X,\ (g,x)\mapsto\rho(g)(x)$$
を$G$の$X$への作用(action)，$\rho$を$G$の置換表現(permutation representation)という．また$G$を変換群(transformation group)，$X$を$G$空間($G$-space)という．
$x\in X,g\in G$に対し，$\rho$を省略して$\rho(g)(x)$を$gx$と表すことが多い．
$x\in X$に対し，
$\Orb_G(x):=\{gx\in X\mid g\in G\}$を$x$の$G$軌道($G$-orbit)という．$Gx$ともかく．
$\Stab_G(x):=\{g\in G\mid gx=x\}\le G$を$x$の固定化部分群(stabilizer)という．$G_x$や$I_G(x)$ともかく．
$\Orb_G(x)=\{x\}$となるとき，$x$を固定点(fixed point)という．
固定点全体を固定点集合(fixed point set)といい，$X^G$で表す．
\begin{align} x\in X^G &:\Leftrightarrow\Orb_G(x)=\{x\}\\ &\Leftrightarrow\Stab_G(x)=G\\ &\Leftrightarrow\forall g\in G,gx=x \end{align}
$\exists x\in X,\Orb_G(x)=X$となるとき，$G\curvearrowright X$は推移的(transitive)であるという．
$\forall x\in X,\Stab_G(x)=\{1\}$となるとき，$G\curvearrowright X$は自由(free)であるという．
$G\curvearrowright X$が推移的かつ自由であるとき正則(reguler)であるという．
$\rho$が単射のとき，$G\curvearrowright X$は忠実(faithful)であるという．
$G\curvearrowright X$が推移的$\Leftrightarrow\forall x,y\in X,\exists g\in G,y=gx$
$G\curvearrowright X$が正則$\Leftrightarrow\forall x,y\in X,\exists! g\in G,y=gx$
$G\curvearrowright X$が忠実$\Leftrightarrow(\rho(g)=\id_X \too g=1)$
作用が自由なら忠実である．
実際$\rho$による作用$G\curvearrowright X$が自由だとすると，
\begin{align}
\Ker{\rho}&=\{g\in G\mid \rho(g)=\id_X\}\\
&=\{g\in G\mid \forall x\in X,\rho(g)(x)=x\}\\
&=\{g\in G\mid \forall x\in X,g\in\Stab_G(x)\}\\
&=\{g\in G\mid \forall x\in X,g=1\}=\{1\}
\end{align}
$G\curvearrowright X$とする．$x,y\in X$に対し，
$$x\sim y\ :\Leftrightarrow\ \exists g\in G,y=gx$$
と定めると，これは同値関係であり，
$X/G:=X/{\sim}$を$X$の$G$による軌道空間{orbit space}という．$G$軌道は軌道空間の元である．よって
$$X=\bigsqcup_{x}\Orb_G(x)$$
と直和分解でき，これを$X$の軌道分解という．
\begin{align} x\sim y\ &:\Leftrightarrow\ \exists g\in G,y=gx\\ &\Leftrightarrow\ y\in\Orb_G(x)\\ &\Leftrightarrow\ \Orb_G(x)=\Orb_G(y)\\ &\Leftrightarrow\ \Orb_G(x)\cap\Orb_G(y)\ne\emptyset \end{align}
$G\curvearrowright X$とする．$x\in X$に対し，
$$G/\Stab_G(x)\to\Orb_G(x),\ g \Stab_G(x)\mapsto gx$$
はwell-definedな全単射である．特に，
$$(G:\Stab_G(x))=|G|/|\Stab_G(x)|=|\Orb_G(x)|$$
一般に$\Stab_G(x)\ntrianglelefteq G$なので$G/\Stab_G(x)$は群ではない．
重要な例
$G$を群とする．
$$L:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto L_g$$
を
$$L_g(h)=gh$$
で定めると，$L$によって$G\curvearrowright G$．この作用は正則である．特に忠実であることから任意の群はある対称群に埋込み可能，すなわちある対称群の部分群に同型であることが従う．(Cayleyの定理)
$G$を群とする．
$$\Ad:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto\Ad_g$$
を
$$\Ad_g(h)=g^{-1}hg$$
で定めると，$\Ad$によって$G\curvearrowright G$．この作用を$G$上の共軛作用(conjugation)という．$K(h):=\Orb_G(h)$をhの共役類(conjugacy class)という．また$h\in G$に対し，
$$\Stab_G(h)=\{g\in G\mid g^{-1}hg=h\}=Z(h)$$
である．よってOrbit-Stabilizer theoremから，
$$|K(h)|=(G:Z(h))$$
が成り立つ．ここで$X$の軌道分解
$$X=\bigsqcup_{i\in I}K(h_i)$$
によって，
$$\abs{X}=\sum_{i\in I}|K(h_i)|=\sum_{i\in I}(G:Z(h_i))$$
を得る．この式を類等式(class formula)という．
- $$\Ker{\Ad}=\{g\in G\mid \forall h\in G,g^{-1}hg=h\}=Z(G)$$
より，$\Ad$が忠実$\ \Leftrightarrow\ Z(G)=\{1\}$ - $G\ne\{1\}$なら$\Orb_G(1)=\{1\}$より推移的でない．
- $G\ne\{1\}$なら$\Stab_G(1)=G$より自由でない．
また固定点集合は
$$G^G=\{h\in G\mid \forall g\in G,g^{-1}hg=h\}=Z(G)$$
である．$\Ad_g:G\to G$は同型であり，$\Ad:G\to\Aut(G)$とできる．
$G$を群，$H\le G$，$X:=\{P\mid P\le G\}$とする．
$$\Ad:H\to\mathfrak{S}(X),g\mapsto\Ad_g$$
を
$$\Ad_g(P)=g^{-1}Pg$$
で定めると，$\Ad$によって$H\curvearrowright X$．$\Orb_H(P)$の元を$P$の共軛部分群という．
同変写像
$X,Y$を集合，$G$を群とし，$G\curvearrowright X,Y$とする．このとき写像$f\colon X\to Y$が
$$\forall g\in G,\forall x\in X,\;f(gx)=gf(x) $$
を充たすとき，$f$は$G$-同変写像($G$-equivariant map)であるという．
$G\curvearrowright X,Y$の置換表現をそれぞれ$\rho_1,\rho_2$とすると，$f$が$G$-同変である条件は，
$$\forall g\in G,\;f\circ\rho_1(g)=\rho_2(g)\circ f
$$
と表せる．
$G\curvearrowright X,Y$とする．このとき$G$-同変写像$f\colon X\to Y$は写像
$$\overline{f}\colon X/G\to Y/G,\;\Orb_G(x)\mapsto \Orb_G(f(x))$$
を誘導する．
$\overline{f}$のwell-definednessを示す．
$\Orb_G(x)=\Orb_G(y)$とすると，$\exists g\in G,y=gx$である．このとき$f(y)=f(gx)=gf(x)$より，$\Orb_G(f(x))=\Orb_G(f(y))$を得る．
