群作用の基本事項
群作用の定義
この記事では左作用について考えることにする．
集合$X$に対して，$\mathfrak{S}(X)$を$X$から$X$への全単射全体とする．$\mathfrak{S}(X)$は合成に関して群となり，これを$X$上の置換群(permutation group)という．
$\mathfrak{S}(\{1,\cdots,n\})=\mathfrak{S}_n$($n$次対称群)である．
$X$を集合，$\mathfrak{S}(X)$を$X$上の置換群，$G$を群とする．
群準同型$\rho:G\to\mathfrak{S}(X)$が与えられたとき，$G$は$X$に作用する(act)といい$G\curvearrowright X$とかく．このとき，
$$a_\rho:G\times X\to X,\ (g,x)\mapsto\rho(g)(x)$$
を$G$の$X$への作用(action)，$\rho$を$G$の置換表現(permutation representation)という．また$G$を変換群(transformation group)，$X$を$G$空間($G$-space)という．
$x\in X,g\in G$に対し，$\rho$を省略して$\rho(g)(x)$を$gx$と表すことが多い．
$G\curvearrowright X$とする．$x\in X$に対し，
$$\Orb_G(x):=\{gx\in X\mid g\in G\}$$
を$x$の$G$軌道($G$-orbit)という．$Gx$ともかく．$$\Stab_G(x):=\{g\in G\mid gx=x\}\le G$$
を$x$の固定化部分群(stabilizer)やisotoropy群という．$G_x$や$I_G(x)$ともかく．
\begin{align} x\in X^G &\Leftrightarrow\forall g\in G,gx=x\\ &\Leftrightarrow\Orb_G(x)=\{x\}\\ &\Leftrightarrow\Stab_G(x)=G \end{align}
$G\curvearrowright X$とする．$g\in G$に対して，
$$\Fix(g):=\{x\in X\mid gx=x\}$$
を$g$による固定点集合(fixed point set)という．$X^g$ともかく．$$X^G=\bigcap_{g\in G}\Fix(g)$$
を固定点集合といい，その元を固定点(fixed point)という．
作用のクラス
$\exists x\in X,\Orb_G(x)=X$となるとき，$G\curvearrowright X$は推移的(transitive)であるという．
$\forall x\in X,\Stab_G(x)=\{1\}$となるとき，$G\curvearrowright X$は自由(free)であるという．
$G\curvearrowright X$が推移的かつ自由であるとき正則(regular)であるという．
$\rho$が単射のとき，$G\curvearrowright X$は忠実(faithful)であるという．
$\rho$による作用$G\curvearrowright X$に関して，
$G\curvearrowright X$が推移的$\Leftrightarrow\forall x,y\in X,\exists g\in G,y=gx$
$G\curvearrowright X$が正則$\Leftrightarrow\forall x,y\in X,\exists! g\in G,y=gx$
$G\curvearrowright X$が忠実$\Leftrightarrow(\rho(g)=\id_X \too g=1)$
$\rho$による作用$G\curvearrowright X$に関して，
$$\Ker{\rho}=\bigcap_{x\in X}\Stab_G(x)$$
\begin{align} \Ker{\rho}&=\{g\in G\mid \rho(g)=\id_X\}\\ &=\{g\in G\mid \forall x\in X,\rho(g)(x)=x\}\\ &=\{g\in G\mid \forall x\in X,g\in\Stab_G(x)\}\\ &=\bigcap_{x\in X}\Stab_G(x) \end{align}
作用が自由なら忠実である．
$\rho$による作用$G\curvearrowright X$が自由だとすると，
$$\Ker{\rho}=\bigcap_{x\in X}\Stab_G(x)=\bigcap_{x\in X}\{1\}=\{1\}$$
証明からわかるように自由は忠実よりはるかに強い条件である．
作用$G\curvearrowright X$が自由だとすると，$g\in G$に対し，
$$\Fix(g)=\{x\in X\mid gx=x\}=
\begin{cases}
X & \text{if $g=1$} \\
\emptyset & \text{if $g\ne 1$}
\end{cases}$$
$$X^G=\bigcap_{g\in G}\Fix(g)= \begin{cases} X & \text{if $G=\{1\}$} \\ \emptyset & \text{if $G\ne\{1\}$} \end{cases} $$
重要な定理
$G\curvearrowright X$とする．$x,y\in X$に対し，
$$x\sim y\ :\Leftrightarrow\ \exists g\in G,y=gx$$
と定めると，これは同値関係であり，
$X/G:=X/{\sim}$を$X$の$G$による軌道空間{orbit space}という．$G$軌道は軌道空間の元である．よって$\sim$の完全代表系$I\subset X$を用いて，
$$X=\bigsqcup_{x\in I}\Orb_G(x)$$
と直和分解でき，これを$X$の軌道分解という．
\begin{align} x\sim y\ &:\Leftrightarrow\ \exists g\in G,y=gx\\ &\Leftrightarrow\ y\in\Orb_G(x)\\ &\Leftrightarrow\ \Orb_G(x)=\Orb_G(y)\\ &\Leftrightarrow\ \Orb_G(x)\cap\Orb_G(y)\ne\emptyset \end{align}
$G\curvearrowright X$とする．$x\in X$に対し，
$$G/\Stab_G(x)\to\Orb_G(x),\ g \Stab_G(x)\mapsto gx$$
はwell-definedな全単射である．特に，
$$(G:\Stab_G(x))=|G|/|\Stab_G(x)|=|\Orb_G(x)|$$
一般に$\Stab_G(x)\ntrianglelefteq G$なので$G/\Stab_G(x)$は剰余群ではない．
$G$を有限群とし，$G\curvearrowright X$とすると，
$$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}|\Fix(g)|$$
各$g$に対する固定点集合の大きさの平均が軌道空間の大きさに一致することを示している．実用的には例えば首飾りの塗分けについて二面体群の作用を考えることでその組合せの総数を求めることができたりする．
作用の例
左移動作用
$G$を群とする．$L:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto L_g$を
$$L_g(h)=gh$$
で定めると，$L$によって$G\curvearrowright G$．この作用を$G$上の左移動作用という．
$h\in G$に対し，
$$\Orb_G(h)=\{gh\mid g\in G\}=G$$
より$L$は推移的である．また，
$$\Stab_G(h)=\{g\in G\mid gh=h\}=\{1\}$$
より$L$は自由でもあるから正則である．特に忠実であることから次が従う．
任意の群はある対称群に埋込み可能，すなわちある対称群の部分群に同型である．
$L_g\in\mathfrak{S}(G)$は準同型でない．実際，$g\ne1$なら$1$が$1$に移らない．
共軛作用
$G$を群とする．$\Ad:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto\Ad_g$を
$$\Ad_g(h)=g^{-1}hg$$
で定めると，$\Ad$によって$G\curvearrowright G$．この作用を$G$上の共軛作用(conjugation)という．$h\in G$に対し，
$$h^G:=\Orb_G(h)=\{g^{-1}hg\mid g\in G\}$$
を$h$の共役類(conjugacy class)という．
この作用について考察する．$h,g\in G$に対し，
$$\Stab_G(h)=\{g\in G\mid g^{-1}hg=h\}=C_G(h)$$
$$\Fix_G(g)=\{h\in G\mid g^{-1}hg=h\}=C_G(g)$$
である．$C_G(h)$は$h$の中心化群(centralizer)である．
また固定点集合は
$$G^G=\bigcap_{g\in G}C_G(g)=\{h\in G\mid \forall g\in G,g^{-1}hg=h\}=Z(G)$$
である．$Z(G)$は$G$の中心(center)である．
Orbit-Stabilizer theoremから次が成り立つ．
$$|h^G|=(G:C_G(h))$$
ここで$G$が有限群のとき，軌道分解
$$G=\bigsqcup_{i\in I}h_i^G$$
によって次を得る．
$$\abs{G}=\sum_{i\in I}|h_i^G|=\sum_{i\in I}(G:C_G(h_i))$$
この式を類等式(class formula)という．
\begin{align} |h^G|=1&\Leftrightarrow h^G=\{h\}\Leftrightarrow h\in Z(G) \end{align}
に注意すると，
$$\abs{G}=|Z(G)|+\sum_{h_i\notin Z(G)}(G:C_G(h_i))$$
とかける．
- $$\Ker{\Ad}=\bigcap_{g\in G}C_G(g)=Z(G)$$
より，$\Ad$が忠実$\ \Leftrightarrow\ Z(G)=\{1\}$ - $G\ne\{1\}$なら$\Orb_G(1)=\{1\}$より推移的でない．
- $G\ne\{1\}$なら$\Stab_G(1)=G$より自由でない．
$\Ad_g:G\to G$は同型であり，$\Ad:G\to\Aut(G)$とできる．
部分群集合への共軛作用
$G$を群，$H\le G$，$X:=\{P\mid P\le G\}$とする．
$\Ad:H\to\mathfrak{S}(X),\ g\mapsto\Ad_g$を
$$\Ad_g(P)=g^{-1}Pg$$
で定めると，$\Ad$によって$H\curvearrowright X$．
$$P^H:=\Orb_H(P)=\{g^{-1}Pg\mid g\in H\}$$
の元を$P$の$H$に関する共軛部分群という．
$$\Stab_H(P)=\{g\in H\mid g^{-1}Pg=P\}=H\cap N(P)$$
である．但し，
$$N(P):=\{g\in G\mid g^{-1}Pg=P\}$$
は$P$の正規化群(normalizer)である．
Orbit-Stabilizer theoremから次が従う．
$$|P^H|=(H:H\cap N(P))$$
特に，$$|P^G|=(G:N(G))$$
$H=G$のときの固定点集合は
$$G^G=\bigcap_{g\in G}\{P\le G\mid g^{-1}Pg=P\}=\{P\mid P\trianglelefteq G\}$$
剰余類集合への作用
$G$を群，$H\le G$とする．$\rho\colon G\to \mathfrak{S}(G/H)$を
$$\rho(g)\colon G/H\to G/H,\ kH\mapsto (gk)H$$
で定めると，$G\curvearrowright G/H$．
$$\Orb_G(H)=\{gH\mid g\in G\}=G/H$$
よりこの作用は推移的である．また$k\in G$に対し，
\begin{align}
\Stab_G(kH)
&=\{g\in G\mid (gk)H=kH\}\\
&=\{g\in G\mid k^{-1}gk\in H\}\\
&=\{g\in G\mid g\in kHk^{-1}\}\\
&=kHk^{-1}
\end{align}
線型表現
$K$を体，$V$を$K$線形空間とする．$\GL(V)$を$V$上の正則線型変換全体とすると$\GL(V)\le\mathfrak{S}(V)$である．そこで，
$$\iota\colon \GL(V)\to \mathfrak{S}(V)$$
を包含写像とすると$\iota$によって$\GL(V)\curvearrowright V$．
$G$を群とするとき，準同型
$$\rho\colon G\to\GL(V)$$
が与えられたとき，$(V,\rho)$を$G$の表現(representation)という．当然$G$の表現があれば$G$は$V$に作用する．
係数体$K$を加法群とみて$G=K$とし，
$$\rho(k)\colon V\to V,v\mapsto kv$$
で定めると$\rho$によって$K\curvearrowright V$．これはスカラ倍による作用である．
$V=\R^n,G=\GL_{n}(\R)$とすれば，表現行列と線型変換の対応
$$\rho\colon \GL_{n}(\R)\to \GL(\R^n)$$
によって$\GL_{n}(\R) \curvearrowright \R^n$．
同変写像
$X,Y$を集合，$G$を群とし，$G\curvearrowright X,Y$とする．このとき写像$f\colon X\to Y$が
$$\forall g\in G,\forall x\in X,\;f(gx)=gf(x) $$
を充たすとき，$f$は$G$-同変写像($G$-equivariant map)であるという．
$G\curvearrowright X,Y$の置換表現をそれぞれ$\rho_1,\rho_2$とすると，$f$が$G$-同変である条件は，
$$\forall g\in G,\;f\circ\rho_1(g)=\rho_2(g)\circ f
$$
と表せる．
$G\curvearrowright X,Y$とする．このとき$G$-同変写像$f\colon X\to Y$は写像
$$\overline{f}\colon X/G\to Y/G,\;\Orb_G(x)\mapsto \Orb_G(f(x))$$
を誘導する．
$\overline{f}$のwell-definednessを示す．
$\Orb_G(x)=\Orb_G(y)$とすると，$\exists g\in G,y=gx$である．このとき$f(y)=f(gx)=gf(x)$より，$\Orb_G(f(x))=\Orb_G(f(y))$を得る．
続き
群作用の定義や周辺の概念を圏論的に見直す こちらの記事 に続きます．
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