群作用の圏論的な記述
群の作用についての定義や記号については こちらの記事 のものを採用します．特に群の作用を$a_\rho\c G\times X\to X$と書いたら，対応する置換表現が$\rho\c G\to\mathfrak{S}(X)$であるとします．
群作用の圏論的な記述
まず群を圏論的に記述する．
群$G$に対して，圏$\mathscr{C}_G$が次のように定義される．
$$\Ob(\mathscr{C}_G)=\{*\}$$（つまり対象は１つだけ）
$$\Hom_{\mathscr{C}_G}(*,*)=G$$
恒等射は単位元$1$，射の合成は群の積．
群$G$はこの圏$\mathscr{C}_G$と同一視される．
群$G$の集合$X$への作用$a_\rho\colon G\times X\to X$を与えることは，関手$F_\rho\colon \mathscr{C}_G\to\Set$を与えることと等価である．
まず作用$a_\rho\colon G\times X\to X$が与えられたとき，
$$F_\rho(*)=X$$
として，$g\in G$に対し，
$$F_\rho(g)\coloneqq \rho(g)\colon X\to X$$
と定めれば$F_\rho\colon \mathscr{C}_G\to\Set$は関手になる．実際，作用の定義から，
$F_\rho(1)=\id_X,\ F_\rho(g\circ h)=F_\rho(g)\circ F_\rho(h)$
である．
一方，関手$F\colon \mathscr{C}_G\to\Set$が与えられたとき，準同型$\rho\colon G\to\mathfrak{S}(X)$を$\rho(g)\coloneqq F(g)$で定めることができる．関手性から
$$F(g)\in \mathfrak{S}(X),\ F(g\circ h)=F(g)\circ F(h)$$
が従う．
$a_\rho\colon G\times X\to X,a_\mu\colon G\times Y\to Y$を$G$作用とする．このとき，$G$同変写像$f\colon X\to Y$を与えることと，自然変換$\eta\colon F_\rho\too F_\mu$を与えることは等価である．
$G$同変$f\colon X\to Y$が与えられたとき，$\eta\colon F_\rho\too F_\mu$を
$$\eta_{*}=f\colon X(=F_\rho(*))\to Y(=F_\mu(*))$$
で定めれば$\eta$が自然変換である．実際，$G$同変の定義から
$$f\circ \rho(g)=\mu(g)\circ f$$
より
$$\eta_{*}\circ F_\rho(g)=F_\mu(g)\circ \eta_{*}$$
が成立することから従う．逆に$G$同変も同様に構成できる．
群$G$に対し$G$作用の圏$\Set^G$が
$$\Set^G\coloneqq\Set^{\mathscr{C}_G}=\Nat(\mathscr{C}_G,\Set)$$
で与えられる．対象は$G$作用，射は$G$同変写像である．
$F\in\Ob(\Set^G)$が$X=F(*)$であり，対応する置換表現が$\rho$であるとき，$F$を$(X,\rho)$とも表すことにする．
limitとcolimit
$F\in \Ob(\Set^G)$とする．このとき，
$$\lim_{\longleftarrow}F=X^G$$
つまり$F$のlimitは固定点集合である．
$(X^G,\iota\colon X^G\hookrightarrow X)$がlimitの普遍性を充たすことを示す．ここで$\iota$は包含である．まず$(X^G,\iota)$が錐であることを確認する．$g\in G,x\in X^G$に対し，$X^G$の定義から，
$$(F(g)\circ\iota)(x)=F(g)(x)=\rho(g)(x)=x=\iota(x)$$
よって，
$$\all g\in G,F(g)\circ\iota=\iota$$
である．また錐$(Y,j\colon Y\to X)$が与えられたとき，
$$\all g\in G, F(g)\circ j=j$$
より$j(Y)\subset X^G$である．よって$j$の終域を$X^G$に制限した写像$j'\colon Y\to X^G,y\mapsto j(y)$によって，
$$\iota\circ j'=j$$
とできる．このような$Y\to X^G$はこれ以外にあり得ず，uniqueである．
普遍性まで立ち返らなくても次のようにも分かる．$F$は$X$と$X$の間に射が複数あるような$\Set$上の図式であり，limitはequalizerである．よって，
\begin{align}
\lim_{\longleftarrow}F
&=\{x\in X |\all g\in G,F(g)(x)=\id_X(x)\}\\
&=\{x\in X |\all g\in G,\rho(g)(x)=x\}\\
&=X^G
\end{align}
$F\in \Ob(\Set^G)$とする．このとき，
$$\lim_{\longrightarrow}F=X/G$$
つまり$F$のcolimitは軌道空間である．
$(X/G,\pi\colon X\to X/G)$がcolimitの普遍性を充たすことを示す．ここで$\pi$は射影，つまり$\pi(x)\coloneqq \Orb_G(x)$とする．
まず$(X/G,\pi)$が余錐であることを確認する．$g\in G,x\in X$に対し，
$$(\pi\circ F(g))(x)=\pi(\rho(g)(x))=\Orb_G(\rho(g)(x))=\Orb_G(x)=\pi(x)$$
よって，
$$\all g\in G,\pi\circ F(g)=\pi$$
である．また余錐$(Y,q\colon X\to Y)$が与えられたとき，
$$\all g\in G,q\circ F(g)=q$$
である．ここで$x,y\in X$が同じ軌道上にあるとするとき，
$$\ex g\in G,y=\rho(g)(x)$$
であるから，
$$q(y)=q(\rho(g)(x))=(q\circ F(g))(x)=q(x)$$
である．よってwell-definedな写像
$$q'\colon X/G\to Y,\;\Orb_{G}(x)\mapsto q(x)$$
が誘導され，
$$q'\circ\pi=q$$
を充たす．このような$X/G\to Y$はこれ以外にあり得ず，uniqueである．
limitの場合と同様，普遍性に立ち返らずとも次のようにも分かる．$F$は$X$から$X$への射が複数ある図式であり，colimitはcoequalizerである．従って，
\begin{align}
R
&=\{(\id_X(x),F(g)(x))\in X^2\mid x\in X, g\in G\}\\
&=\{(x,\rho(g)(x))\in X^2\mid x\in X, g\in G\}
\end{align}
で生成される同値関係を$\sim$とすると$\sim=R$であり，これは同じ軌道上にいるという関係である．よって，
\begin{align}
\lim_{\longrightarrow}F=X/{\sim}=X/G
\end{align}
随伴1
$U\c \Set^G\to\Set$を
$$(X,\rho)\mapsto X,\ f\mapsto f$$
で定めると，これは関手であり，忘却関手という．但し射の対応は$G$同変写像を単なる写像と見做すということである．
忘却関手は作用の構造を忘れて台集合を返す関手である．
$\mathcal{F}\c \Set\to\Set^G$を
$$X\mapsto (G\times X,\rho),\ \rho(g)=L_g\times\id_X\;(g\in G)$$
$$f\mapsto \id_G\times f$$
で定めると，これは関手であり，自由関手という．但し，$L_g\c G\to G,\;h\mapsto gh$である．
$U\c \Set^G\to\Set$を忘却関手，$\mathcal{F}\c \Set\to\Set^G$を自由関手とする．このとき，$\mathcal{F}\dashv U$．
$X\in\Ob(\Set),(Y,\mu)\in\Ob(\Set^G)$に対し，
$$\Hom_{\Set^G}((G\times X,\rho),(Y,\mu))\cong\Hom_{\Set}(X,Y)$$
なる自然な同型がある．
$(\to)$$\eta\c (G\times X,\rho)\too(Y,\mu)$に対して，$\eta_*\c G\times X\to Y$が定まる．そこで$\eta_*(1,-)\c X\to Y$を対応させる．
$(\leftarrow)$$f\c X\to Y\ \text{in}\ \Set$に対して，
$$\eta_*\c G\times X\to Y,(g,x)\mapsto f(x)$$
なる$\eta\c (G\times X,\rho)\too(Y,\mu)$を対応させる．
以上の対応は互いに逆であり，$X,(Y,\mu)$ に関して自然である．
随伴2
$\Delta\c \Set\to\Set^G$を
$$X\mapsto (X,\rho),\ \rho(g)=\id_X\;(g\in G)$$
$$f\mapsto f$$
で定めると，これは関手であり，対角関手という．但し射の対応は任意の写像が$G$同変となることに基づく．
対角関手は集合に自明作用を対応させる関手である．
$(-)^G\c \Set^G\to\Set$を
$$(X,\rho)\mapsto X^G, f\mapsto f|_{X^G}$$
で定めると，これは関手であり，固定点関手ということにする．
固定点関手は作用を固定点集合を対応させる関手である．
$(-)/G\c \Set^G\to\Set$を
$$(X,\rho)\mapsto X/G,\ f\mapsto \overline{f}$$
で定めると，これは関手であり，軌道関手ということにする．但し，$\overline{f}$は$G$同型$f$が軌道空間に誘導する写像である．（
前の記事
命題2）
軌道関手は作用を軌道空間を対応させる関手である．
$\Delta\c \Set\to\Set^G$を対角関手，$(-)^G,(-)/G\c \Set^G\to\Set$をそれぞれ固定点関手，軌道関手とする．このとき，
$$(-)/G\dashv \Delta\dashv (-)^G$$
$(X,\rho)\in\Ob(\Set^G),Y\in\Ob(\Set)$ に対し，
$$\Hom_{\Set}(X/G,Y)\cong\Hom_{\Set^G}((X,\rho),\Delta Y)$$
なる自然な同型がある．
$(\to)$$f\colon X/G\to Y\ \text{in}\ \Set$が与えられたとき，
$$\eta_*\coloneqq f\circ\pi\colon X\to Y $$
とおく．$x\in X,g\in G$に対し
$$\eta_*(\rho(g)(x))
=(f\circ\pi)(\rho(g)(x))
=(f\circ\pi)(x)
=\eta_*(x)$$
より，$\eta_*$は$G$同変である．従って$\eta\colon (X,\rho)\too\Delta Y$が得られる．
$(\leftarrow)$$\eta\colon (X,\rho)\too\Delta Y$とする．$x,y\in X$が同じ軌道にあるとき，
$$\exists g\in G,\ y=\rho(g)(x)$$
であるからして，
$$\eta_*(y)=\eta_*(\rho(g)(x))=\eta_*(x)$$
が成り立つ．よってwell-definedな写像
$$f\colon X/G\to Y,\ f(\Orb_G(x))\coloneqq \eta_*(x)$$
が定まる．
以上の対応は互いに逆であり，$(X,\rho),Y$ に関して自然である．
$X\in\Ob(\Set),(Y,\rho)\in\Ob(\Set^G)$に対し，
$$\Hom_{\Set^G}(\Delta X,(Y,\rho))\cong\Hom_{\Set}(X, Y^G)$$
なる自然な同型がある．
$(\to)$$\eta\colon \Delta X\too(Y,\rho)$とする．$x\in X,g\in G$に対し，
$$\rho(g)(\eta_*(x))=\eta_*(\id_X(x))=\eta_*(x)$$
が成り立つので$\eta_*(X)\subset Y^G$である．よって$\eta_*$の終域を$Y^G$に制限することで，
$$f\colon X\to Y^G,\ x\mapsto \eta_*(x)$$
が定まる．
$(\leftarrow)$$f\colon X\to Y^G\ \text{in}\ \Set$が与えられたとき，包含$\iota\colon Y^G\hookrightarrow Y$を用いて，
$$\eta_*\coloneqq \iota\circ f\colon X\to Y$$
と定める．このとき$g\in G$に対して，
$$\rho(g)(\eta_*(x))=\rho(g)(f(x))=f(x)=\eta_*(x)$$
であるからして$\eta_*$は$G$同変であり，
$$\eta\colon \Delta X\too(Y,\rho)$$
を与える．
以上の対応は互いに逆であり，$X,(Y,\rho)$ に関して自然である．
命題3から$\dps\lim_{\longleftarrow}=(-)^G$，命題4から$\dps\lim_{\longrightarrow}=(-)/G$となること及び$$\lim_{\longrightarrow}\dashv \Delta\dashv \lim_{\longleftarrow}$$
という事実からも従うことがわかる．
終わり
もし誤謬などありましたら教えて頂けると助かります．今後もし余裕がありましたら図式を追加して見やすくしたいと思います．
