数強が作った問題を文系数弱が解いてみました（数列）

当方、TeX、Markdown共に初心者だし、数弱だし、Mathlogにおけるマナーとかあったとしても知らないけど、許し亭許して（何かあったら教えてください） 。
今回は、 天輝主 さんが作成なさった 昔作った問題(整数•数列の問題編) の数列編問題1を解きました。問題2のnが無限に続く奴は数3未修なので知りません。

数弱すぎて、皆さんからすれば基本みたいなところからやってたりしますが、悪しからず！！

問題

$$\sum _{k=1}^n(k^2+1)k!$$
うーん。弱弱すぎてこのままじゃわからん……。

解答

1. $(k^2+1)k!$をいじる

当方、実は数弱すぎて階乗が付いた$\sum$計算をしたことがないのです。頭を抱えました。仕方が無いので、部分分数分解みたいにできないかなーと思い、$(k^2+1)k!$をいじることにしました。

$$(k^2+1)k!$$
$$=((k+1{)}^2-2k)k!$$
$$=(k+1{)}^2\times k!-2k\times k!$$
$$=(k+1)\times (k+1)!-2k\times k!$$

なんかそれっぽくなりました！！　これは$k\times k!$が求まらば、同様にして$(k+1)\times (k+1)!$も求められる予感がします。なので、次はそこを検討していきましょう。

2. $k\times k!$を検討する

最初の形よりかは、マシになっている気がします。‪もう少しこれをいじってみましょう。

$$k\times k!$$
$$=((k+1)-1)\times k!$$
$$=(k+1)\times k!-k!$$
$$=(k+1)!-k!$$

綺麗な形になりました。これでここの部分における和は少なくとも出せそうな予感がしてきますね！

$$\sum _{k=1}^{n}k\times k!$$
$$=\sum _{k=1}^n((k+1)!-k!)$$
$$=(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+\dots \dots +((n+1)!-n)!$$
$$=(n+1)!-1$$

できました。$k\times k!$の和は分かったので、めっちゃ進歩みありますね。わーい。

3. $(k+1)\times (k+1)!$を検討する

これは$k\times k!$と同じ方法を取れば簡単に分かる気がします。

$$(k+1)\times (k+1)!$$
$$=((k+1)-2)\times (k+1)!$$
$$=(k+2)\times (k+1)!-(k+1)!$$
$$=(k+2)!-(k+1)!$$

こちらも綺麗な形になりました。同様にして和を求めます。

$$\sum _{k=1}^n(k+1)\times (k+1)!$$
$$=\sum _{k=1}^n((k+2)!-(k+1)!)$$
$$=(3!-2!)+(4!-3!)+(5!-4!)\dots \dots +((n+2)!-(n+1))!$$
$$=(n+2)!-2$$

できました！！　このまま最後まで走り抜けます。

4. 和を計算する

ラストスパートです。ここまでで求めたのを組み合わせて使っていきます。

$$\sum _{k=1}^n(k^2+1)k!$$
$$=\sum _{k=1}^n((k+1)!-2k!)$$
$$=\sum _{k=1}^n((k+1)!-2\sum _{k=1}^{n}k!$$
$$=((n+2)!-2)-2((n+1)!-1)$$
$$=(n+2)!-2(n+1)!$$
$$=(n+2)\times (n+1)!-2(n+1)!$$
$$=n(n+1)!$$

よし、求められた！　数弱でもそれなりに頑張っちゃったね。

最後に

読んでくれてありがとう。文系で、初心者で、全然わかってないので、ため息つきたくなるようなことをしてるかもしれませんが、その時は優しく指摘してあげてください()