文献あり

【初投稿】2021年度京大数学(理系)第3問を和分差分学を使って解く！！

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめまして〜

　ということでまずはどうも！
これから気が向いたら投稿していきます！
まずは自己紹介をさせてください！

自己紹介

${}$
・現在高3でちょっと大学数学かじってます.（複素函数論に興味あり)
・数検1級1次だけ合格
・好きな数は$ 26$　($26$は$5^{2}$(平方数)と$3^{3}$(立方数)に挟まれた唯一の自然数)
・作問する！
・文体は気分で変えるぜ！
・Mrs.GREEN APPLE好きです！

さて

${}$
　私の自己紹介はこれくらいにして早速ですが本題に入っていきましょうか！

問題

無限級数$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right)$の和を求めよ.　　　('21京都理系第3問)

解答

よくある解法2つ

詳細は他の方々がすでに解説されているので省略させていただきます.

$\displaystyle\cos\left(\frac{n\pi}{6}\right)$の周期性を利用
$n$が$1$から$6$または$1$から$12$を1周期とする
複素数を用いる

本解答の前に

　私は少し前にMathlogで和分差分学に関する記事を拝見して、ほどなくしてこの問題に再会したので今度は和分を使って解いてみようとなりました．
　また、私のリサーチ不足かもしれませんが、この解法をネットで調べても見つけられなかったのでこの記事を書いてみようと思いました！

和分を用いた解答

まず、和分差分学に関する基本的な事柄を挙げておきます.
なお、本記事は,
がーとさんの高校数学の数列と微分積分は似ているという話（和分差分）
及びみがわりさんの等差×等比に効く！瞬間部分和分！
を勝手ながら参考にさせていただいたため、詳しい証明などはお二方の記事を随時参照お願いします！

差分(前進差分)

ある関数$f(x)$に対して,
$$ \Delta f(x)=f(x+1)-f(x)$$
となる$\Delta f(x)$を$f(x)$の差分という．

$f(x)=3x$のとき,
$\Delta f(x)=3(x+1)-3x=3$
$f(x)=3x^2+3x+4$のとき,
$\Delta f(x)=3(x+1)^2+3(x+1)+4-(3x^2+3x+4)$
　　　 $=6x+6$
$f(x)=7^x$のとき,
$\Delta f(x)=7^{x+1}-7^x=6\cdot 7^x$

定和分と不定和分

$$ {\sum}_{a}^{b} f(x) \delta x =\sum_{x=a}^{b-1}f(x)$$
を$f(x)$の$a$から$b$までの定和分と呼ぶ．

また,
$$ \Delta\sum f(x)\delta x=f(x) $$
を満たす$\sum f(x)\delta x$を$f(x)$の不定和分という.

つまり、和分は差分の逆演算です.
定和分で総和の上限が$b-1$になることに注意です.

和分差分学の基本定理

$\displaystyle F(x)=\sum f(x)\delta x$とする.
$$ \Delta {\sum}_a^x f(t)\delta t=f(x)$$
$$ {\sum}_a^b f(t)\delta t=F(b)-F(a)$$

おおまかに言えば差分は微分の、和分は積分の離散verなわけです.

指数関数の和分

$a \neq 1 $のとき,
$$ \sum a^x \delta x =\frac{a^x}{a-1}+C $$
ただし$C$は任意定数.

$C$は和分定数とでもいいましょうか.

$ \begin{align} \Delta \sum a^x \delta x&=\Delta\left(\frac{a^x}{a-1}+C\right)\\ &=\frac{a^{x+1}-a^x}{a-1}\\ &=a^x \end{align} $

積の差分

関数$f(x),g(x)$に対し,
$$ \Delta \lbrace f(x)g(x) \rbrace =f(x)\Delta g(x)+g(x+1)\Delta f(x) $$

$\begin{align} \Delta\lbrace f(x)g(x) \rbrace&=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x)\\ &=f(x+1)g(x+1)-f(x)g(x+1)+f(x)g(x+1)-f(x)g(x)\\ &=f(x)\Delta g(x)+g(x+1)\Delta f(x) \end{align} $

積の微分っぽいですが$g(x+1)$となるところに注意ですね.
この積の差分から部分積分の離散verの部分和分が導かれます.

部分和分

$$ \sum f(x)\Delta g(x)\delta x=f(x)g(x)-\sum g(x+1)\Delta f(x)\delta x $$
$$ {\sum}_a^b f(x)\Delta g(x)\delta x=[f(x)g(x)]_a^b-{\sum}_a^b g(x+1)\Delta f(x)\delta x $$

${}$
あと無限級数なので広義和分でも定義しておきましょうか

広義和分

$$ \lim_{b \to \infty} {\sum}_a^bf(x)\delta x ={\sum}_a^{\infty}f(x)\delta x $$
と書くことにする．
このとき、
$$ {\sum}_a^{\infty}f(x)\delta x =\lim_{b \to \infty} {\sum}_a^bf(x)\delta x =\lim_{b \to \infty} \sum_{n=a}^{b-1} f(n) =\sum_{n=a}^{\infty}f(n) $$

${}$
さて、道具は揃ったのでいよいよ和分を使って問題を解いていきましょう!

和分を用いた解答

問題を再提起します.

無限級数$\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right) $の和を求めよ.　　　('21京都理系第3問)

見たところ部分和分が使えそうです.
指数関数の和分はわかるので上の定理4で,
$$ f(x)=\cos \left( \frac{\pi x}{6} \right),\space g(x)=\left(\frac{1}{2} \right)^n $$
とすればよさそうです.
また、
$$ S= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right) $$
$$ T= \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right) $$
としておきます.
なお,
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right), \space \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right) $$
の2つの無限級数はどちらも絶対収束するので有限の値に収束することがわかり,それぞれ$ S,T$とおいてもよいことがわかります.
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left| \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right)\right| =\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2}\right) ^n \left| \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right)\right| \leq\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n}=2 $$
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left| \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right)\right| =\sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{1}{2}\right) ^n \left| \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right)\right| \leq\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n}=2 $$

では計算していきましょう！

$\begin{align} S&=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right)\\ &={\sum}_0^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{x} \cos \left(\frac{x \pi }{6}\right)\delta x\\ &=\left[\frac{\left(\frac{1}{2} \right)^x}{\frac{1}{2}-1} \cdot \cos\left(\frac{\pi x}{6} \right) \right]_0^{\infty} -{\sum}_0^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2} \right)^{x+1}}{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( \cos\left(\frac{\pi \left(x+1\right)}{6} \right)-\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) \right) \delta x \\ &=2+{\sum}_0^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^{x}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos\left(\frac{\pi x}{6} \right) -\frac{1}{2}\sin \left(\frac{\pi x}{6} \right) -\cos\left(\frac{\pi x}{6}\right) \right)\delta x \\ &=2+\left(\frac{\sqrt{3}}{2}-1\right)S-\frac{1}{2}T \end{align}$

よって,
$$ 　　　　　　　\left(4-\sqrt{3}\right)S+T=4　　　　　　　・・・① $$
また,
$\begin{align} T&=\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right)\\ &={\sum}_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \sin \left(\frac{n \pi }{6}\right)\delta x\\ &=\left[\frac{\left(\frac{1}{2} \right)^x}{\frac{1}{2}-1} \cdot \sin\left(\frac{\pi x}{6} \right) \right]_0^{\infty} -{\sum}_0^{\infty}\frac{\left(\frac{1}{2} \right)^{x+1}}{\frac{1}{2}-1} \cdot \left( \sin\left(\frac{\pi \left(x+1\right)}{6} \right)-\sin\left(\frac{\pi x}{6}\right) \right) \delta x \\ &={\sum}_0^{\infty} \left(\frac{1}{2} \right)^{x}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \left(\frac{\pi x}{6} \right) +\frac{1}{2}\cos \left(\frac{\pi x}{6} \right) -\sin\left(\frac{\pi x}{6}\right) \right)\delta x \\ &=\left(\frac{\sqrt{3}-2}{2} \right)T+\frac{1}{2}S \end{align}$
よって,
$$ \left(4-\sqrt{3} \right)T=S $$
すなわち,
$$ 　　　　　　　　　　　　　T=\frac{4+\sqrt{3}}{13}S　　　　　　　　・・・② $$
①,②から,
$$ \begin{eqnarray} \left\{ \begin{array}{l} (4-\sqrt3)S+T=4 \\ T=\frac{4+\sqrt3}{13}S \end{array} \right. \end{eqnarray} $$
これを解くと,
$$ S=\frac{14+3\sqrt{3}}{13},\space T=\frac{5+2\sqrt{3}}{13} $$

ゆえに,求める無限級数の和の値は,
$$ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right) ^{n} \cos \left(\frac{n \pi }{6}\right) =\frac{14+3\sqrt{3}}{13} $$
計算は積分の同形出現に似てましたね.
(指数関数)×(三角関数)の形だからでしょうか？

まとめ

　このように和分差分学は数列の和や無限級数を求める際に有効な場合があります.
$\displaystyle\sum k\cdot3^k $や$\displaystyle \sum k^3\cdot\pi^k$なども機械的に解けるのです！！
　特に、$\displaystyle\sum k\cdot a^k $のような計算は高校ではaを掛けてずらして引いて整理するという面倒なことをしないといけませんし,符号ミスや計算ミスも起きやすい一方で、和分を用いると部分和分を一回行うだけで良いのでとても計算が楽になります！！
　大学入試などでことわりなしに使うことは恐らく許されませんが、検算などで用いることはできるので余裕があれば和分差分学を学んでみてはいかがでしょうか！