高校数学から見る①-2（整数論，類体論）

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この記事の概要

この記事は前回の記事の続論です。

前回の記事で考えていた問題の続きとして，以下の問題を整数論から眺めてみます。

2009年神戸大学理系：第2問

$f(x)=x^3-3x+1$，$g(x)=x^2-2$とし，方程式$f(x)=0$について考える。このとき，以下のことを示せ。
⑴　$f(x)=0$は絶対値が$2$より小さい$3$つの相異なる実数解を持つ。
⑵　$\alpha$が$f(x)=0$の解ならば，$g(\alpha)$も$f(x)=0$の解である。
⑶　$f(x)=0$の解を小さい順に$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$とすれば，$$ g(\alpha_1)=\alpha_3,\quad g(\alpha_2)=\alpha_1,\quad g(\alpha_3)=\alpha_2$$
となる。

今回考えている$f(T)\in \mathbb Q[T]$の最小分解体を$L$としますと，この$L$は単拡大であることが分かっていました。以後，$$ f(T)=(T-\alpha)(T-\beta)(T-\gamma) $$
と因数分解されるとします。（つまり$L=\Q(\alpha)=\Q(\beta)=\Q(\gamma)$です。）

さらに，関係式として
$$ \begin{cases} \beta=\alpha^2-2\\ \gamma=\beta^2-2=-\alpha^2-\alpha+2 \end{cases} $$
が成立しているとします。（詳しくは前回の記事を参照ください。）

この記事は欠陥品

知られている事実を使った事実の羅列となっています。証明や計算を入力する気力が起きなかっただけです。お許しください。

整数論の諸事実から

$L$の整数底を求める

まずは$L$の整数底（$L$の整数環$\O_L$の基底）を具体的に求めます。$f(T)$は$3$次式でしたので，$L$の整数底は$3$つの元から構成できます。

$L$のイデアル$\p=(1+\alpha)$を考えます。この$\p$については$$ \p=(1+\beta)=(1+\gamma) $$
であることがすぐに分かります。特に$\p$は素イデアルで，$$ f(1)=3=-(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma) $$
ですので，$(3)=\p^3$です。

$\p$の分岐指数は$2$である。

$$ \begin{align} (1+\alpha)-(1+\beta)&=\alpha-\beta\\&=\alpha-(2-\alpha^2)\\ &=-(1+\alpha)(-2+\alpha) \end{align} $$
である。ここでイデアル$(-2+\alpha)$について
$$ -2+\alpha=-3+(1+\alpha) $$
が成り立つことから，$(-2+\alpha)$は$\p$の“きっかり”$1$乗で割れる。すなわち，$(1+\alpha)-(1+\beta)$は$\p$の“きっかり”$2$乗で割れ，$\p$の指数は$2$である。

ということは，拡大$L/\Q$の導手$\mathfrak f$は$\mathfrak f=3^2$であることが分かり，導手が分かったので，$L/\mathbb Q$の判別式$D$については，$$ D=\mathfrak f^2=3^4 $$
であることがわかります。この$81$という数字は，どこかで見た気がしますね。。。そうです，前回の記事で考えた$\delta^2$と一致します。特に，
$$ \begin{vmatrix} 1&\alpha&\alpha^2\\ 1&\beta&\beta^2\\ 1&\gamma&\gamma^2 \end{vmatrix} =(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)=\delta^2=D $$
ですので，$\suuretu{1,\alpha,\alpha^2}$が$L$の整数底になっていることが分かりました。特に$\alpha^2=\beta+2$であることから，$\suuretu{1,\alpha,\beta}$も$L$の整数底です。

$L$の単数を求めたい

次に，$L$の単数を求めてみたいです。次が成り立つことが分かります。

これは，一般化されたものとして，整数論の本に載っている事実（例えば「代数的整数論（高木）」とか）を具体的に計算したものです。事実を中心とした羅列となっています。申し訳ありません。。。

$3$次のアーベル拡大$L/\mathbb Q$について，$D$を$L$の判別式，$h$を$L$の類数，$N(A)$を，イデアル$A$の$L$におけるノルムととする。デデキント・ゼータ関数$$ \zeta_L(s)=\sum_{A}\bunsuu{1}{N(A)^s} $$
を用いて，次が成り立つ。$$ \bunsuu{4Rh}{\sqrt D}=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_L(s) $$

この定理を用いることで，単数基準$R$を求めたいのです。

今回の場合ですと，$D=81$です。また，類数$h$については$h=1$となることが計算できます（略）。従って，$$ R=\bunsuu49\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_L(s) $$
だと言っています。

実はこの$R$は，$$ -\begin{vmatrix} \log|\alpha|& \log|\beta|\\ \log|\beta|& \log|\gamma| \end{vmatrix} $$に等しいことが，長い計算の果てに分かります（ディリクレの単数定理を考えたように，$3$次の体でも頑張ります）。これを以て，次の定理が成り立つのです。

$L$上の単数$\rho$は，$\rho=\pm\alpha^n\beta^m$（$n,m$は整数）の形に書くことが出来る。