高校数学から見る①-2（整数論，類体論）

この記事の概要

この記事は前回の記事の続論です。

前回： https://mathlog.info/articles/606

前回の記事で考えていた問題の続きとして，以下の問題を整数論から眺めてみます。

今回考えている$f(T)\in \mathbb{Q}[T]$の最小分解体を$L$としますと，この$L$は単拡大であることが分かっていました。以後，$$f(T)=(T-\alpha )(T-\beta )(T-\gamma )$$
と因数分解されるとします。（つまり$L=\mathbb{Q}(\alpha )=\mathbb{Q}(\beta )=\mathbb{Q}(\gamma )$です。）

さらに，関係式として
$$\{\begin{array}{l}\beta ={\alpha }^2-2\\ \gamma ={\beta }^2-2=-{\alpha }^2-\alpha +2\end{array}$$
が成立しているとします。（詳しくは 前回の記事 を参照ください。）

整数論の諸事実から

$L$の整数底を求める

まずは$L$の整数底（$L$の整数環${\mathcal{O}}_L$の基底）を具体的に求めます。$f(T)$は$3$次式でしたので，$L$の整数底は$3$つの元から構成できます。

$L$のイデアル$\mathfrak{p}=(1+\alpha )$を考えます。この$\mathfrak{p}$については$$\mathfrak{p}=(1+\beta )=(1+\gamma )$$
であることがすぐに分かります。特に$\mathfrak{p}$は素イデアルで，$$f(1)=3=-(1+\alpha )(1+\beta )(1+\gamma )$$
ですので，$(3)={\mathfrak{p}}^3$です。

ということは，拡大$L/\mathbb{Q}$の導手$\mathfrak{f}$は$\mathfrak{f}=3^2$であることが分かり，導手が分かったので，$L/\mathbb{Q}$の判別式$D$については，$$D={\mathfrak{f}}^2=3^4$$
であることがわかります。この$81$という数字は，どこかで見た気がしますね。。。そうです， 前回の記事 で考えた${\delta }^2$と一致します。特に，
$$\left|\begin{array}{ccc}1& \alpha & {\alpha }^2\\ 1& \beta & {\beta }^2\\ 1& \gamma & {\gamma }^2\end{array}\right|=(\alpha -\beta {)}^2(\beta -\gamma {)}^2(\gamma -\alpha )={\delta }^2=D$$
ですので，$\{1,\alpha ,{\alpha }^2\}$が$L$の整数底になっていることが分かりました。特に${\alpha }^2=\beta +2$であることから，$\{1,\alpha ,\beta \}$も$L$の整数底です。

$L$の単数を求めたい

次に，$L$の単数を求めてみたいです。次が成り立つことが分かります。

これは，一般化されたものとして，整数論の本に載っている事実（例えば「代数的整数論（高木）」とか）を具体的に計算したものです。事実を中心とした羅列となっています。申し訳ありません。。。

この定理を用いることで，単数基準$R$を求めたいのです。

今回の場合ですと，$D=81$です。また，類数$h$については$h=1$となることが計算できます（略）。従って，$$R={\displaystyle \frac{4}{9}}\underset{s\to 1}{lim}(s-1){\zeta }_L(s)$$
だと言っています。

実はこの$R$は，$$-\left|\begin{array}{cc}\log |\alpha |& \log |\beta |\\ \log |\beta |& \log |\gamma |\end{array}\right|$$に等しいことが，長い計算の果てに分かります（ディリクレの単数定理を考えたように，$3$次の体でも頑張ります）。これを以て，次の定理が成り立つのです。

まとめ

事実の羅列になってしまい申し訳ありません。（単純に，紙で計算したものをタイポするのが辛くなったためです。）にゃーん。。。

というか，途中から大学入試の問題と言うより，拡大$L$の考察になっているじゃあないか。