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高校数学から見る①-2(整数論,類体論)

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$$\newcommand{bekutoru}[1]{\displaystyle\overrightarrow{\mbox{#1}\phantom{A}\hspace{-1em}}} \newcommand{bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{bunsuu}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{Deg}[0]{^{\circ}} \newcommand{dsqrt}[1]{\displaystyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{foo}[1]{\ifnum#12\text{それは2だよ!}\else\text{それは2じゃないよ!}\fi} \newcommand{gauss}[1]{\left[\mkern1mu {#1}\mkern1mu\right]} \newcommand{kaku}[1]{\angle\mbox{#1}} \newcommand{kumiawase}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{C}_{#2}}} \newcommand{mdot}[0]{\!\cdot\!} \newcommand{O}[0]{\mathcal O} \newcommand{p}[0]{\mathfrak p} \newcommand{Q}[0]{\mathbb Q} \newcommand{sankaku}[1]{\triangle \mbox{#1}} \newcommand{suuretu}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{tsqrt}[1]{\textstyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{zyunretu}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{P}_{#2}}} $$

この記事の概要

この記事は前回の記事の続論です。

前回: https://mathlog.info/articles/606

前回の記事で考えていた問題の続きとして,以下の問題を整数論から眺めてみます。

2009年神戸大学理系:第2問

$f(x)=x^3-3x+1$$g(x)=x^2-2$とし,方程式$f(x)=0$について考える。このとき,以下のことを示せ。
⑴ $f(x)=0$は絶対値が$2$より小さい$3$つの相異なる実数解を持つ。
⑵ $\alpha$$f(x)=0$の解ならば,$g(\alpha)$$f(x)=0$の解である。
⑶ $f(x)=0$の解を小さい順に$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$とすれば,$$ g(\alpha_1)=\alpha_3,\quad g(\alpha_2)=\alpha_1,\quad g(\alpha_3)=\alpha_2$$
となる。

今回考えている$f(T)\in \mathbb Q[T]$の最小分解体を$L$としますと,この$L$は単拡大であることが分かっていました。以後,$$ f(T)=(T-\alpha)(T-\beta)(T-\gamma) $$
と因数分解されるとします。(つまり$L=\Q(\alpha)=\Q(\beta)=\Q(\gamma)$です。)

さらに,関係式として
$$ \begin{cases} \beta=\alpha^2-2\\ \gamma=\beta^2-2=-\alpha^2-\alpha+2 \end{cases} $$
が成立しているとします。(詳しくは 前回の記事 を参照ください。)

この記事は欠陥品

知られている事実を使った事実の羅列となっています。証明や計算を入力する気力が起きなかっただけです。お許しください。

整数論の諸事実から

$L$の整数底を求める

まずは$L$の整数底($L$の整数環$\O_L$の基底)を具体的に求めます。$f(T)$$3$次式でしたので,$L$の整数底は$3$つの元から構成できます。

$L$のイデアル$\p=(1+\alpha)$を考えます。この$\p$については$$ \p=(1+\beta)=(1+\gamma) $$
であることがすぐに分かります。特に$\p$は素イデアルで,$$ f(1)=3=-(1+\alpha)(1+\beta)(1+\gamma) $$
ですので,$(3)=\p^3$です。

$\p$の分岐指数は$2$である。

$$ \begin{align} (1+\alpha)-(1+\beta)&=\alpha-\beta\\&=\alpha-(2-\alpha^2)\\ &=-(1+\alpha)(-2+\alpha) \end{align} $$
である。ここでイデアル$(-2+\alpha)$について
$$ -2+\alpha=-3+(1+\alpha) $$
が成り立つことから,$(-2+\alpha)$$\p$の“きっかり”$1$乗で割れる。すなわち,$(1+\alpha)-(1+\beta)$$\p$の“きっかり”$2$乗で割れ,$\p$の指数は$2$である。

ということは,拡大$L/\Q$の導手$\mathfrak f$$\mathfrak f=3^2$であることが分かり,導手が分かったので,$L/\mathbb Q$の判別式$D$については,$$ D=\mathfrak f^2=3^4 $$
であることがわかります。この$81$という数字は,どこかで見た気がしますね。。。そうです, 前回の記事 で考えた$\delta^2$と一致します。特に,
$$ \begin{vmatrix} 1&\alpha&\alpha^2\\ 1&\beta&\beta^2\\ 1&\gamma&\gamma^2 \end{vmatrix} =(\alpha-\beta)^2(\beta-\gamma)^2(\gamma-\alpha)=\delta^2=D $$
ですので,$\suuretu{1,\alpha,\alpha^2}$$L$の整数底になっていることが分かりました。特に$\alpha^2=\beta+2$であることから,$\suuretu{1,\alpha,\beta}$$L$の整数底です。

$L$の単数を求めたい

次に,$L$の単数を求めてみたいです。次が成り立つことが分かります。

これは,一般化されたものとして,整数論の本に載っている事実(例えば「代数的整数論(高木)」とか)を具体的に計算したものです。事実を中心とした羅列となっています。申し訳ありません。。。

$3$次のアーベル拡大$L/\mathbb Q$について,$D$$L$の判別式,$h$$L$の類数,$N(A)$を,イデアル$A$$L$におけるノルムととする。デデキント・ゼータ関数$$ \zeta_L(s)=\sum_{A}\bunsuu{1}{N(A)^s} $$
を用いて,次が成り立つ。$$ \bunsuu{4Rh}{\sqrt D}=\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_L(s) $$

この定理を用いることで,単数基準$R$を求めたいのです。

今回の場合ですと,$D=81$です。また,類数$h$については$h=1$となることが計算できます(略)。従って,$$ R=\bunsuu49\lim_{s\to1}(s-1)\zeta_L(s) $$
だと言っています。

実はこの$R$は,$$ -\begin{vmatrix} \log|\alpha|& \log|\beta|\\ \log|\beta|& \log|\gamma| \end{vmatrix} $$に等しいことが,長い計算の果てに分かります(ディリクレの単数定理を考えたように,$3$次の体でも頑張ります)。これを以て,次の定理が成り立つのです。

$L$上の単数$\rho$は,$\rho=\pm\alpha^n\beta^m$$n,m$は整数)の形に書くことが出来る。

まとめ

事実の羅列になってしまい申し訳ありません。(単純に,紙で計算したものをタイポするのが辛くなったためです。)にゃーん。。。

というか,途中から大学入試の問題と言うより,拡大$L$の考察になっているじゃあないか。

投稿日:20201117

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投稿者

ぱるち
ぱるち
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数学屋さんをしています。代数,数論系に興味があり,今は楕円曲線と戯れています。Mathlogは現実逃避用という噂もあります。@f_d00123

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