Li3(1/2)を求める

はじめに

この記事では${\displaystyle {\text{Li}}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3{2}^n}}$をAMZVを使って求めます。 こちら で偶然${\displaystyle {\text{Li}}_2\left(\frac{1}{2}\right)}$が求まったのでついでに求めてみようという流れで作りました。

求める

$\begin{array}{rcl}& & {\displaystyle {\text{Li}}_3\left(\frac{1}{2}\right)}\\ & =& \frac{1}{4}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{t^2}{e^t-\frac{1}{2}}dt\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\log }^{2}x}{2-x}dx(t=-\log x)\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1\frac{{\log }^2(1-x)}{1+x}dx\\ & =& \frac{1}{2}{\int }_0^1\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^a}{a}\sum _{b=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^b}{b}\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}(-x{)}^{c-1}dx\\ & =& -\frac{1}{2}\sum _{0<a,b,c}\frac{(-1{)}^c}{ab}{\int }_0^1{x}^{a+b+c-1}dx\\ & =& -\frac{1}{2}\sum _{0<a,b,c}\frac{(-1{)}^c}{(a+b)(a+b+c)}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b})\\ & =& -\sum _{0<a<b<c}\frac{(-1{)}^{b+c}}{abc}\\ & =& -\sum _{0<a\le b\le c}\frac{(-1{)}^{b+c}}{abc}+\sum _{0<a<b}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^{2}b}+\sum _{0<a<b}\frac{1}{a{b}^2}+\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{a^3}\\ & =& -\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^c}{c}\sum _{b=1}^c\frac{(-1{)}^b}{b}\sum _{a=1}^b\frac{1}{a}-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2+\frac{5}{8}\zeta (3)+2\zeta (3)\\ & =& -\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^c}{c}\sum _{b=1}^c\frac{(-1{)}^b}{b}\sum _{a=1}^{\mathrm{\infty }}(\frac{1}{a}-\frac{1}{a+b})+\frac{21}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2\\ & =& -\sum _{0<a,c}\frac{(-1{)}^c}{ac}\sum _{b=1}^c\frac{(-1{)}^b}{a+b}+\frac{21}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2\\ & =& -\sum _{0<a,b,c}\frac{(-1{)}^c}{ac}(\frac{(-1{)}^b}{a+b}-\frac{(-1{)}^{b+c}}{a+b+c})+\frac{21}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2\\ & =& -\sum _{c=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^c}{c}\sum _{0<a,b}\frac{(-1{)}^b}{a(a+b)}+\sum _{0<a,b,c}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})\frac{(-1{)}^b}{(a+c)(a+b+c)}+\frac{21}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2\\ & =& 2\sum _{0<a<b<c}\frac{(-1{)}^{b+c}}{abc}+\frac{1}{2}{\log }^{3}2-\frac{{\pi }^2}{12}\log 2+\frac{21}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{6}\log 2\\ & =& \frac{1}{3}(\frac{1}{2}{\log }^{3}2-\frac{{\pi }^2}{4}\log 2+\frac{21}{8}\zeta (3))\\ & =& \frac{7}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{12}\log 2+\frac{1}{6}{\log }^{3}2\end{array}$

より、

${\displaystyle {\text{Li}}_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{7}{8}\zeta (3)-\frac{{\pi }^2}{12}\log 2+\frac{1}{6}{\log }^{3}2}$

が求まりました。

おわりに

かなりの計算量ですね。AMZVを知らない人でもわかるように$\zeta$を使わないで書きました。余計に見にくくなっていたら申し訳ありません。また、隅々まで書いているとキリがないので

${\displaystyle \sum _{0<a,b}\frac{(-1{)}^b}{a(a+b)}=\zeta (\bar{1},\bar{1}),\sum _{0<a<b}\frac{(-1{)}^{a+b}}{a^{2}b}=\zeta (\bar{2},\bar{1})}$

の値は既知のものとしました。 こちら で${\displaystyle \zeta (\bar{1},\bar{1})}$は求めているので、興味のある方は覗いてみてください。