Li3(1/2)を求める

はじめに

この記事では$\d\text{Li}_3\l\frac12\r=\sum_{n=1}^\infty \frac1{n^32^n} $をAMZVを使って求めます。 こちら で偶然$\d\text{Li}_2\l\frac12\r$が求まったのでついでに求めてみようという流れで作りました。

求める

$ \begin{eqnarray*} &&\d\text{Li}_3\l\frac12\r\\ &=&\frac14\int_0^\infty \frac{t^2}{e^t-\frac12}dt\\ &=&\frac12\int_0^1 \frac{\log^2x}{2-x}dx~~~~~~~~~~(t=-\log x)\\ &=&\frac12\int_0^1 \frac{\log^2(1-x)}{1+x}dx\\ &=&\frac12\int_0^1 \sum_{a=1}^\infty \frac{x^a}a\sum_{b=1}^\infty \frac{x^b}b\sum_{c=1}^\infty (-x)^{c-1}dx\\ &=&-\frac12\sum_{0\f a,b,c}\frac{(-1)^c}{ab}\int_0^1 x^{a+b+c-1}dx\\ &=&-\frac12\sum_{0\f a,b,c}\frac{(-1)^c}{(a+b)(a+b+c)}\l\frac1a+\frac1b\r\\ &=&-\sum_{0\f a\f b\f c}\frac{(-1)^{b+c}}{abc}\\ &=&-\sum_{0\f a\le b\le c}\frac{(-1)^{b+c}}{abc}+\sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^{a+b}}{a^2b}+\sum_{0\f a\f b}\frac1{ab^2}+\sum_{a=1}^\infty \frac1{a^3}\\ &=&-\sum_{c=1}^\infty\frac{(-1)^c}c\sum_{b=1}^c \frac{(-1)^b}b\sum_{a=1}^b\frac1{a} -\frac{\pi^2}6\log2+\frac58\z(3)+2\z(3)\\ &=&-\sum_{c=1}^\infty\frac{(-1)^c}c\sum_{b=1}^c \frac{(-1)^b}b\sum_{a=1}^\infty \l\frac1{a}-\frac1{a+b} \r+\frac{21}8\z(3)-\frac{\pi^2}6\log2 \\ &=&-\sum_{0\f a,c}\frac{(-1)^c}{ac}\sum_{b=1}^c\frac{(-1)^b}{a+b}+\frac{21}8\z(3)-\frac{\pi^2}6\log2\\ &=&-\sum_{0\f a,b,c}\frac{(-1)^c}{ac}\l\frac{(-1)^b}{a+b}-\frac{(-1)^{b+c}}{a+b+c} \r+\frac{21}8\z(3)-\frac{\pi^2}6\log2\\ &=&-\sum_{c=1}^\infty \frac{(-1)^c}c \sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^b}{a(a+b)}+\sum_{0\f a,b,c}\l\frac1a+\frac1c \r\frac{(-1)^b}{(a+c)(a+b+c)}+\frac{21}8\z(3)-\frac{\pi^2}6\log2\\ &=&2\sum_{0\f a\f b\f c}\frac{(-1)^{b+c}}{abc}+\frac12\log^32-\frac{\pi^2}{12}\log2+\frac{21}8\z(3)-\frac{\pi^2}6\log2\\ &=&\frac13\l\frac12\log^32-\frac{\pi^2}4\log2+\frac{21}8\z(3)\r\\ &=&\frac78\z(3)-\frac{\pi^2}{12}\log2+\frac16\log^32 \end{eqnarray*} $

より、

$\d\text{Li}_3\l\frac12\r=\frac78\z(3)-\frac{\pi^2}{12}\log2+\frac16\log^32 $

が求まりました。

おわりに

かなりの計算量ですね。AMZVを知らない人でもわかるように$\z$を使わないで書きました。余計に見にくくなっていたら申し訳ありません。また、隅々まで書いているとキリがないので

$\d\sum_{0\f a,b}\frac{(-1)^b}{a(a+b)}=\z(\overline1,\overline1)~~~,~~~ \sum_{0\f a\f b}\frac{(-1)^{a+b}}{a^2b}=\z(\overline2,\overline1)$

の値は既知のものとしました。 こちら で$\d\z(\overline1,\overline1) $は求めているので、興味のある方は覗いてみてください。