x^3-3xは美しい

$x,y$を実数とする。連立方程式
$$\{\begin{array}{l}y=x^3-3x\\ x^2+y^2=4\end{array}$$
を解きなさい。

定点$\mathrm{P}$から$3$次関数$y=x^3-3x$に向かって$3$本の接線を引くことが出来るような，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示しなさい。

次の問いに答えよ。
⑴　等式$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$を示せ。
⑵　$2\cos {80}^{\circ }$は，方程式$x^3-3x+1=0$の解であることを示せ。
⑶　$x^3-3x+1=(x-2\cos {80}^{\circ })(x-2\cos \alpha )(x-2\cos \beta )$となる角度$\alpha ,\beta$を求めよ。ただし$0^{\circ }<\alpha <\beta <{180}^{\circ }$とする。

$p$を実数とし，$3$次方程式$x^3-3x-p=0\cdots \cdots (\ast )$を考える。次の問いに答えよ。
⑴　$(\ast )$が異なる$3$つの実数解を持つとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
⑵　⑴のとき，異なる$3$つの実数解を$\alpha ,\beta ,\gamma$ $(\alpha <\beta <\gamma )$とする。またそのうちの$1$つの解は$x=2\cos \theta$で表されるとする。（$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$）
①　$\alpha ,\beta ,\gamma$を$\theta$を用いて表せ。
②　$|3{\alpha }^2-3|+|3{\beta }^2-3|+|3{\gamma }^2-3|$の範囲を求めよ。

定数$p$に対して，$3$次方程式$x^3－3x－p＝0$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を$f(p)$とする。ただし，実数解がただひとつのときには，その$2$乗を$f(p)$とする。
⑴　$p$がすべての実数を動くとき，$f(p)$の最小値を求めよ。
⑵　$y=f(p)$のグラフを書け。

$x,y$を実数とする。連立方程式
$$\{\begin{array}{l}y=x^3-3x\\ x^2+y^2=4\end{array}$$
を解きなさい。

定点$\mathrm{P}$から$3$次関数$y=x^3-3x$に向かって$3$本の接線を引くことが出来るような，点$\mathrm{P}$の存在する領域を図示しなさい。

次の問いに答えよ。
⑴　等式$\cos 3\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta$を示せ。
⑵　$2\cos {80}^{\circ }$は，方程式$x^3-3x+1=0$の解であることを示せ。
⑶　$x^3-3x+1=(x-2\cos {80}^{\circ })(x-2\cos \alpha )(x-2\cos \beta )$となる角度$\alpha ,\beta$を求めよ。ただし$0^{\circ }<\alpha <\beta <{180}^{\circ }$とする。

$p$を実数とし，$3$次方程式$x^3-3x-p=0\cdots \cdots (\ast )$を考える。次の問いに答えよ。
⑴　$(\ast )$が異なる$3$つの実数解を持つとき，$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
⑵　⑴のとき，異なる$3$つの実数解を$\alpha ,\beta ,\gamma$ $(\alpha <\beta <\gamma )$とする。またそのうちの$1$つの解は$x=2\cos \theta$で表されるとする。（$-{\displaystyle \frac{\pi }{6}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{6}}$）
①　$\alpha ,\beta ,\gamma$を$\theta$を用いて表せ。
②　$|3{\alpha }^2-3|+|3{\beta }^2-3|+|3{\gamma }^2-3|$の範囲を求めよ。

定数$p$に対して，$3$次方程式$x^3－3x－p＝0$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を$f(p)$とする。ただし，実数解がただひとつのときには，その$2$乗を$f(p)$とする。
⑴　$p$がすべての実数を動くとき，$f(p)$の最小値を求めよ。
⑵　$y=f(p)$のグラフを書け。