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x^3-3xは美しい

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$$\newcommand{bekutoru}[1]{\displaystyle\overrightarrow{\mbox{#1}\phantom{A}\hspace{-1em}}} \newcommand{bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{bunsuu}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{Deg}[0]{^{\circ}} \newcommand{dsqrt}[1]{\displaystyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{foo}[1]{\ifnum#12\text{それは2だよ!}\else\text{それは2じゃないよ!}\fi} \newcommand{gauss}[1]{\left[\mkern1mu {#1}\mkern1mu\right]} \newcommand{kaku}[1]{\angle\mbox{#1}} \newcommand{kumiawase}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{C}_{#2}}} \newcommand{mdot}[0]{\!\cdot\!} \newcommand{sankaku}[1]{\triangle \mbox{#1}} \newcommand{suuretu}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{tsqrt}[1]{\textstyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{zyunretu}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{P}_{#2}}} $$

$$ \bm{y=x^3-3x} $$

この記事では,$x^3-3x$に関する問題をいくつか紹介します。有名なものや自作問題です。出典が分かるものについては記載しています。なお,この記事では解答を与えていません。お気持ちだけ述べています。

問題リスト

一応自作,有名かも?

$x,y$を実数とする。連立方程式
\begin{cases} y=x^3-3x\\ x^2+y^2=4 \end{cases}
を解きなさい。

非常に有名な問題

定点$\mathrm P$から$3$次関数$y=x^3-3x$に向かって$3$本の接線を引くことが出来るような,点$\mathrm P$の存在する領域を図示しなさい。

2009,筑波大学

次の問いに答えよ。
⑴ 等式$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$を示せ。
⑵ $2\cos80\Deg$は,方程式$x^3-3x+1=0$の解であることを示せ。
⑶ $x^3-3x+1=(x-2\cos80\Deg)(x-2\cos\alpha)(x-2\cos\beta)$となる角度$\alpha,\beta$を求めよ。ただし$0\Deg<\alpha<\beta<180\Deg$とする。

自作?さっきの筑波の一般化

$p$を実数とし,$3$次方程式$x^3-3x-p=0\quad\cdots\cdots(\ast)$を考える。次の問いに答えよ。
⑴ $(\ast)$が異なる$3$つの実数解を持つとき,$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
⑵ ⑴のとき,異なる$3$つの実数解を$\alpha,\beta,\gamma$ $(\alpha<\beta<\gamma)$とする。またそのうちの$1$つの解は$x=2\cos\theta$で表されるとする。($-\bunsuu{\pi}{6}<\theta<\bunsuu{\pi}{6}$
① $\alpha,\beta,\gamma$$\theta$を用いて表せ。
② $|3\alpha^2-3|+|3\beta^2-3|+|3\gamma^2-3|$の範囲を求めよ。

1991,東京大学

定数$p$に対して,$3$次方程式$x^3-3x-p=0$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を$f(p)$とする。ただし,実数解がただひとつのときには,その$2$乗を$f(p)$とする。
⑴ $p$がすべての実数を動くとき,$f(p)$の最小値を求めよ。
⑵ $y=f(p)$のグラフを書け。

以下,お気持ち表明です。
$\phantom{a}$
$\phantom{a}$
$\phantom{a}$
$\phantom{a}$
$\phantom{a}$

図形との対応

一応自作,有名かも?

$x,y$を実数とする。連立方程式
\begin{cases} y=x^3-3x\\ x^2+y^2=4 \end{cases}
を解きなさい。

この問題は次のグラフの交点を求めることに等しいです。(なんなら,この図を見てもらいたいがために記事にしました。

3次関数と円 3次関数と円
(四角形は,一辺$4$の正方形です。)

ということはつまり,先の連立方程式の解は$6$組あるということが見て取れます。また,その$x$座標や$y$座標を,$\cos$$\sin$で表してみるのも面白いですね。

ちなみに,昔 こんなプリント を作ったことがあります。

この点は通らねェよォ!!

非常に有名な問題

定点$\mathrm P$から$3$次関数$y=x^3-3x$に向かって$3$本の接線を引くことが出来るような,点$\mathrm P$の存在する領域を図示しなさい。

東進の数学の先生がこの問題を説明している動画があり,その動画自体は非常に有名ですが,問題が取り上げられることは少ないと思います。

いくつかその先生が言っていることを文字起こししてみました。

「だからぁ,この点とこの点とこの点が出るわけだ。この点は出ねぇよぉ!!$(a,b)$を通らねぇ接線なんだから。」
「所詮,手際よく解けるように作られた入試問題という箱庭の中でしかぁ,生きていけない解答に過ぎないんだ。」

この問題を解いた後にその動画を見ると,ネタに出来ないくらい非常に分かりやすいのです。

$3$倍角?

2009,筑波大学

次の問いに答えよ。
⑴ 等式$\cos3\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta$を示せ。
⑵ $2\cos80\Deg$は,方程式$x^3-3x+1=0$の解であることを示せ。
⑶ $x^3-3x+1=(x-2\cos80\Deg)(x-2\cos\alpha)(x-2\cos\beta)$となる角度$\alpha,\beta$を求めよ。ただし$0\Deg<\alpha<\beta<180\Deg$とする。

先ほども,円が絡んできましたが,$x^3-3x$というのは,3倍角との親和性が非常に高いです。理由はこの問題を解けば分かります。初めてこういう問題を解く人は,「こんな$3$次方程式も解けるんだ!」と思わされますね。(ところで,なんで暗黙のうちに,$x^3-3x+1=0$の解の絶対値は$2$未満であると認めているのでしょうかね。。。)

やや一般化

自作?さっきの筑波の一般化

$p$を実数とし,$3$次方程式$x^3-3x-p=0\quad\cdots\cdots(\ast)$を考える。次の問いに答えよ。
⑴ $(\ast)$が異なる$3$つの実数解を持つとき,$p$のとり得る値の範囲を求めよ。
⑵ ⑴のとき,異なる$3$つの実数解を$\alpha,\beta,\gamma$ $(\alpha<\beta<\gamma)$とする。またそのうちの$1$つの解は$x=2\cos\theta$で表されるとする。($-\bunsuu{\pi}6<\theta<\bunsuu{\pi}{6}$
① $\alpha,\beta,\gamma$$\theta$を用いて表せ。
② $|3\alpha^2-3|+|3\beta^2-3|+|3\gamma^2-3|$の範囲を求めよ。

筑波の問題では,$p=1$としていましたが,ここでは$p$を定数として,より広い状況で考えてもらいます。ちなみに⑵の②は, この記事の問題 を考えているときに求めてみたくなったものです。

なんなんだこの問題シリーズ

1991,東京大学

定数$p$に対して,$3$次方程式$x^3-3x-p=0$の実数解の中で最大のものと最小のものとの積を$f(p)$とする。ただし,実数解がただひとつのときには,その$2$乗を$f(p)$とする。
⑴ $p$がすべての実数を動くとき,$f(p)$の最小値を求めよ。
⑵ $y=f(p)$のグラフを書け。

やっぱりこの問題は,いつみても不思議です。だって⑵が分かれば⑴も自明なのだから。ということは,⑴をヒントにグラフを書けとでも言っているのでしょうか?(実際そうなのでしょう。)

しかも,⑵ではどこまで増減を調べれば(2階微分はすべきか)良いのかが明示されていないので少し困ります。(ま,1階微分しようと思ってもかなりキツい計算なので,2階微分しようと思わないんですけど。。。)

ちなみに答えのグラフは,見た目的にイラってします。ぜひ考えてみてください。

投稿日:20201117

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ぱるち
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数学屋さんをしています。代数,数論系に興味があり,今は楕円曲線と戯れています。Mathlogは現実逃避用という噂もあります。@f_d00123

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