集合 ➇
Prop&Proof
集合$U$を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
A\cup B\subseteq C\ \Leftrightarrow\ (A\subseteq C)\land(B\subseteq C)
$$
部分集合の定義より
$$
A\cup B\subseteq C
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ (x\in A\cup B\Rightarrow x\in C)
$$
である。また和集合の定義より
$$
x\in A\cup B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\lor x\in B)
$$
が成り立つ。よって
$$
A\cup B\subseteq C
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ ((x\in A\lor x\in B)\Rightarrow x\in C)
$$
である。
ここで任意の$x\in U$を固定する。この$x$に対して次が成り立つ(
証明はコチラ
)。
$$
((P\lor Q)\Rightarrow R)\ \Leftrightarrow\ ((P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R))
$$
ただし
$$
P:\ (x\in A),\quad Q:\ (x\in B),\quad R:\ (x\in C)
$$
とおく。
$ $
- まず$((P\lor Q)\Rightarrow R)\Rightarrow((P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R))$を示す。
$((P\lor Q)\Rightarrow R)$を仮定する。
(1)$P\Rightarrow R$を示す。$P$を仮定する。このとき$P\lor Q$が成り立つので、仮定より$R$が従う。よって$P\Rightarrow R$が成り立つ。
(2)$Q\Rightarrow R$を示す。$Q$を仮定する。このとき$P\lor Q$が成り立つので、仮定より$R$が従う。よって$Q\Rightarrow R$が成り立つ。
(1)(2)より$(P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R)$が成り立つ。
$ $ - 次に$((P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R))\Rightarrow((P\lor Q)\Rightarrow R)$を示す。
$(P\Rightarrow R)\land(Q\Rightarrow R)$を仮定する。従って$P\Rightarrow R$かつ$Q\Rightarrow R$が成り立つ。
$(P\lor Q)\Rightarrow R$を示すために$P\lor Q$を仮定する。このとき場合分けにより
(i)$P$が成り立つ場合、$P\Rightarrow R$より$R$が従う。
(ii)$Q$が成り立つ場合、$Q\Rightarrow R$より$R$が従う。
よっていずれの場合も$R$が成り立つので、$(P\lor Q)\Rightarrow R$が成り立つ。
$ $
-以上より任意の$x\in U$について
$$
((x\in A\lor x\in B)\Rightarrow x\in C)
\ \Leftrightarrow\
((x\in A\Rightarrow x\in C)\land(x\in B\Rightarrow x\in C))
$$
が成り立つ。
従って
$$
\forall x\in U\ ((x\in A\lor x\in B)\Rightarrow x\in C)
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ ((x\in A\Rightarrow x\in C)\land(x\in B\Rightarrow x\in C))
$$
が成り立つことと、ここで任意の条件（述語）$S(x),T(x)$について
$$
\forall x\in U\ (S(x)\land T(x))
\ \Leftrightarrow\
(\forall x\in U\ S(x))\land(\forall x\in U\ T(x))
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)ので
$$
\forall x\in U\ ((x\in A\Rightarrow x\in C)\land(x\in B\Rightarrow x\in C))
$$
は
$$
(\forall x\in U\ (x\in A\Rightarrow x\in C))\land(\forall x\in U\ (x\in B\Rightarrow x\in C))
$$
と同値である。
部分集合の定義より
$$
\forall x\in U\ (x\in A\Rightarrow x\in C)\ \Leftrightarrow\ A\subseteq C
$$
$$
\forall x\in U\ (x\in B\Rightarrow x\in C)\ \Leftrightarrow\ B\subseteq C
$$
である。以上をまとめると
$$
A\cup B\subseteq C\ \Leftrightarrow\ (A\subseteq C)\land(B\subseteq C)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
$ $
集合$U$を全体集合とし、$A,B,C\subseteq U$とする。このとき次が成り立つ。
$$
C\subseteq A\cap B\ \Leftrightarrow\ (C\subseteq A)\land(C\subseteq B)
$$
部分集合の定義より
$$
C\subseteq A\cap B
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow x\in A\cap B)
$$
である。また共通部分の定義より
$$
x\in A\cap B\ \Leftrightarrow\ (x\in A\land x\in B)
$$
が成り立つ。よって
$$
C\subseteq A\cap B
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow (x\in A\land x\in B))
$$
である。
ここで任意の$x\in U$を固定する。この$x$に対して次が成り立つ(
証明はコチラ
)。
$$
(P\Rightarrow(Q\land R))\ \Leftrightarrow\ ((P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R))
$$
ただし
$$
P:\ (x\in C),\quad Q:\ (x\in A),\quad R:\ (x\in B)
$$
とおく。
$ $
- まず$(P\Rightarrow(Q\land R))\Rightarrow((P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R))$を示す。
$P\Rightarrow(Q\land R)$を仮定する。
(1)$P\Rightarrow Q$を示す。$P$を仮定する。このとき仮定より$Q\land R$が従うので、特に$Q$が従う。よって$P\Rightarrow Q$が成り立つ。
(2)$P\Rightarrow R$を示す。$P$を仮定する。このとき仮定より$Q\land R$が従うので、特に$R$が従う。よって$P\Rightarrow R$が成り立つ。
(1)(2)より$(P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R)$が成り立つ。
$ $ - 次に$((P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R))\Rightarrow(P\Rightarrow(Q\land R))$を示す。
$(P\Rightarrow Q)\land(P\Rightarrow R)$を仮定する。従って$P\Rightarrow Q$かつ$P\Rightarrow R$が成り立つ。
$P\Rightarrow(Q\land R)$を示すために$P$を仮定する。このとき$P\Rightarrow Q$より$Q$が従い、また$P\Rightarrow R$より$R$が従う。
よって$Q\land R$が成り立つので、$P\Rightarrow(Q\land R)$が成り立つ。
$ $
-以上より任意の$x\in U$について
$$
(x\in C\Rightarrow (x\in A\land x\in B))
\ \Leftrightarrow\
((x\in C\Rightarrow x\in A)\land(x\in C\Rightarrow x\in B))
$$
が成り立つ。
従って
$$
\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow (x\in A\land x\in B))
\ \Leftrightarrow\
\forall x\in U\ ((x\in C\Rightarrow x\in A)\land(x\in C\Rightarrow x\in B))
$$
が成り立つことと、ここで任意の条件（述語）$S(x),T(x)$について
$$
\forall x\in U\ (S(x)\land T(x))
\ \Leftrightarrow\
(\forall x\in U\ S(x))\land(\forall x\in U\ T(x))
$$
が成り立つ(
証明はこちら
)ので
$$
\forall x\in U\ ((x\in C\Rightarrow x\in A)\land(x\in C\Rightarrow x\in B))
$$
は
$$
(\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow x\in A))\land(\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow x\in B))
$$
と同値である。
部分集合の定義より
$$
\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow x\in A)\ \Leftrightarrow\ C\subseteq A
$$
$$
\forall x\in U\ (x\in C\Rightarrow x\in B)\ \Leftrightarrow\ C\subseteq B
$$
である。以上をまとめると
$$
C\subseteq A\cap B\ \Leftrightarrow\ (C\subseteq A)\land(C\subseteq B)
$$
が成り立つ。
$$ \Box$$
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