2-colored rooted tree に付随した pp 進多重ゼータ値

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はじめに

本記事は Ono [O] の理論の拡張として, 2-colored rooted tree に付随する $p$ 進多重ゼータ値を構成し, Seki [S] で証明された $p$ 進シャッフル関係式の別証明を与える. なお, 本記事の内容は Ono-Seki-Yamamoto [OSY] で本質的に知られている.

Review on the finite multiple zeta values

正整数 $n$ に対し $Q$ 代数
$A_{n} = (\prod_{p} Z / p^{n} Z) / (⨁_{p} Z / p^{n} Z)$
を考え, 離散位相を導入する. ここで $p$ は素数全体を渡る. このとき $m < n$ に対し $\mod p^{m}$ を取る自然な写像 $A_{n} \to A_{m}$ により射影極限が定まり, 極限としての位相を備えたこれを $\hat{A}$ と書く. 自然な写像 $π : \prod_{p} Z_{p} ↠ \hat{A}$ , による $(a_{p})_{p}$ の像を $a_{p}$ と書く. とくに $p = ((p \mod p^{n})_{p})_{n}$ を infinitely large prime という.

正整数の組 $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ を index と呼ぶ. このとき $\mod p$ multiple harmonic sum が
$ζ_{< p} (k) = \sum_{1 \leq n_{1} < \dots < n_{r} < p} \frac{1}{n_{1}^{k_{1}} \dots n_{r}^{k_{r}}}$
で定まり, これを用いて $p$ 進多重ゼータ値が $ζ_{\hat{A}} (k) = ζ_{< p} (k)$ と定義される. 自然な射影 $π_{1} : \hat{A} ↠ A_{1}$ による $ζ_{\hat{A}} (k)$ の像を $ζ_{A} (k)$ と書く. $ζ_{\hat{A}} (k)$ に関する結果については [R], [S] を参照. また, 本サイト (Mathlog) 内では [G] で $ζ_{A} (k)$ の双対性が示されている.

代数 $H = Q ⟨ x, y ⟩$ 上の双線型な積 $ш$ を次の規則で定める:
$\begin{aligned} 1 ш w & = w ш 1 = w, \\ u_{1} w_{1} ш u_{2} w_{2} = u_{1} ( & w_{1} ш u_{2} w_{2}) + u_{2} (u_{1} w_{1} ш w_{2}) . \end{aligned}$
ここで $w, w_{1}, w_{2} \in H$ , $u_{1}, u_{2} \in {x, y}$ である. $H$ の部分代数 $H^{1} = Q + y H$ と ( $\emptyset$ を含む) index の $Q$ 係数形式的線型和の集合 $R$ の間には, 対応
$\begin{aligned} \emptyset & \mapsto 1, \\ (k_{1}, \dots, k_{r}) & \mapsto y x^{k_{1} - 1} \dots y x^{k_{r} - 1} \end{aligned}$
を $Q$ 線型に延長することで全単射が構成される. これを $I$ と書く. また, この対応を通して index $k$ , $l$ に対し $k ш l = I^{- 1} (I (k) ш I (l))$ と書く. これによって, 次の定理が成り立つ.

p

進シャッフル関係式

任意の index $k$ , $l = (l_{1}, \dots, l_{s})$ に対し
$ζ_{\hat{A}} (k ш l) = (- 1)^{wt (l)} \sum_{e \in Z_{\geq 0}^{s}} b (l; e) ζ_{\hat{A}} (k, \overset{\leftarrow}{l + e}) t^{wt (e)}$
が成り立つ. ここで $ζ_{\hat{A}}$ は $R$ の元に対し $Q$ 線型に拡張しており, index $h = (h_{1}, \dots, h_{c})$ と非負整数の組 $e = (e_{1}, \dots, e_{c})$ に対し
$\begin{array}{r} wt (e) = e_{1} + \dots + e_{c}, \\ \overset{\leftarrow}{h} = (h_{c}, \dots, h_{1}), \\ h + e = (h_{1} + e_{1}, \dots, h_{c} + e_{c}), \\ b (h; e) = \prod_{i = 1}^{c} (\binom{h_{i} + e_{i} - 1}{e_{i}}) \end{array}$
とおいた.

とくに, この定理の両辺で $π_{1}$ をとり, 次を得る:

A

シャッフル関係式

任意の index $k$ , $l$ に対し $ζ_{A} (k ш l) = (- 1)^{wt (l)} ζ_{A} (k, \overset{\leftarrow}{l})$ である.

Ono [O] では, 2-colored rooted tree を用いて定理 2 の別証明を与えている.

2-colored rooted tree

以下の要件を満たす組 $(V, E, rt, V_{∙})$ を 2-colored rooted tree という.

$(V, E)$ は頂点の集合を $V$ , 辺の集合を $E$ とした tree である.
$rt$ は $V$ の元である (root と呼ぶ).
$V_{∙}$ は terminal をすべて含む $V$ の部分集合である.

以後 $V_{\circ} = V ∖ V_{∙}$ と書く. また, 辺 $e$ が頂点 $v, w$ を繋いでいるとき $e = {v, w}$ と書く.

2-colored rooted tree $X = (V, E, rt, V_{∙})$ があるとき, 各頂点 $v \in V_{∙}$ に対し
$L_{e} (X; (m_{v})_{v \in V_{∙}}) = \sum_{v \in V_{e}^{rt}} m_{v}$
とおく. ここで辺 $e$ に対し $V_{e}^{rt} = {v \in V_{∙} ∣ e \in P (rt, v)}$ であり, $P (v, w)$ は頂点 $v$ , $w$ の間の path である. このとき $X$ に付随した $p$ 進多重ゼータ値を
$ζ_{\hat{A}} (X; k) = \sum_{\begin{matrix} (m_{v}) \in Z_{\geq 1}^{| V_{∙} |} \\ \sum_{v \in V_{∙}} m_{v} = p \end{matrix}} \prod_{e \in E} L_{e} (X; (m_{v}))^{- k_{e}}$
で定める. このとき次の命題が成り立つ.

2-colored rooted tree $X = (V, E, rt, V_{∙})$ とその上の index $k = (k_{e})$ であって, 頂点 $v, w$ が存在し $w \in V_{\circ} ∖ {rt}$ かつ $k_{{v, w}} = 0$ を満たすものを考える. このとき $X^{'} = (V ∖ {w}, E ∖ {{v, w}}, rt, V_{∙})$ , $k^{'} = (k_{e})_{e \in E ∖ {{v, w}}}$ とおくと $ζ_{\hat{A}} (X; k) = ζ_{\hat{A}} (X^{'}; k^{'})$ が成り立つ.

2-colored rooted tree $X = (V, E, rt, V_{∙})$ とその上の index $k = (k_{e})$ であって, degree $2$ である $V_{\circ} ∖ {rt}$ の元が存在するものを考える. その頂点を $v$ と書き, $v$ に接続する辺をそれぞれ ${v_{i}, v}$ と書く ( $i = 1, 2$ ). このとき $X^{'} = (V ∖ {v}, (E ∖ {{v_{1}, v}, {v_{2}, v}}) \cup {{v_{1}, v_{2}}}, rt, V_{∙})$ とおき,
$k_{e}^{'} = {\begin{cases} k_{{v_{1}, v}} + k_{{v_{2}, v}} & (e = {v_{1}, v_{2}}) \\ k_{e} & (o t h e r w i s e) \end{cases}$
によって $X^{'}$ 上の index $k^{'} = (k_{e})$ を定めると $ζ_{\hat{A}} (X; k) = ζ_{\hat{A}} (X^{'}; k^{'})$ が成り立つ.

証明はそれぞれ [O, Proposition 2.2], [O, Proposition 2.3] と全く同一である.

二つの 2-colored rooted tree であって, root のみが異なるもの $X_{1} = (V, E, {rt}_{1}, V_{∙})$ , $X_{2} = (V, E, {rt}_{2}, V_{∙})$ とその上の index $k = (k_{e})_{e}$ を考える. このとき
$ζ_{\hat{A}} (X_{1}; k) = (- 1)^{\sum_{e \in P ({rt}_{1}, {rt}_{2})} k_{e}} \sum_{e \in Z_{\geq 0}^{| P ({rt}_{1}, {rt}_{2}) |}} b_{{rt}_{1}, {rt}_{2}} (k; e) ζ_{\hat{A}} (X_{2}; k + e) p^{wt (e)}$
が成り立つ. ここで $k + e$ は成分ごとの和であり,
$b_{{rt}_{1}, {rt}_{2}} ((k_{e})_{e \in E}; (f_{e})_{e \in E}) = \prod_{e \in P ({rt}_{1}, {rt}_{2})} (\binom{k_{e} + f_{e} - 1}{f_{e}})$
とおいた.

$e \in P ({rt}_{1}, {rt}_{2})$ のとき $V_{∙} = V_{e}^{{rt}_{1}} ⊔ V_{e}^{{rt}_{2}}$ であり, そうでないとき $V_{e}^{{rt}_{1}} = V_{e}^{{rt}_{2}}$ であるから
$L_{e} (X_{1}; (m_{v})) = {\begin{cases} p - L_{e} (X_{2}; (m_{v})) & (e \in P ({rt}_{1}, {rt}_{2})) \\ L_{e} (X_{2}; (m_{v})) & (e \notin P ({rt}_{1}, {rt}_{2})) \end{cases}$
が成り立つ. この事実と $ζ_{\hat{A}}$ の定義および $p$ 進級数
$\frac{1}{(p - L)^{k}} = (- 1)^{k} \sum_{e = 0}^{\infty} (\binom{k + e - 1}{e}) \frac{p^{e}}{L^{k + e}} (0 < L < p)$
を組み合わせることで命題を得る.

$s, r_{i}$ ( $0 \leq i \leq s$ ) を正整数とし,
$\begin{aligned} V & = {v_{i, j} ∣ 0 \leq i \leq s, 1 - δ_{0, i} \leq j \leq r_{i}}, \\ E & = {{v_{i, j}, v_{i, j + 1}} ∣ 0 \leq i \leq s, 1 - δ_{0, i} \leq j \leq r_{i} - 1} \cup {{v_{i, r_{i}}, v_{0, 0}} ∣ 1 \leq i \leq s}, \\ rt & = v_{0, r_{0}}, \\ V_{∙} & = V ∖ {v_{0, 0}} \end{aligned}$
によって 2-colored rooted tree $X = (V, E, rt, V_{∙})$ を定める. また, この上のインデックス $k = (k_{e})$ の成分は $e = {v_{0, 0}, v_{0, 1}}$ を除いてすべて正整数とする. このとき
$k_{i} = {\begin{cases} (k_{{v_{i, 1}, v_{i, 2}}}, \dots, k_{{v_{i, r_{i} - 1}, v_{i, r_{i}}}}, k_{{v_{i, r_{i}}, v_{0, 0}}}) & (1 \leq i \leq s) \\ (k_{{v_{0, 1}, v_{0, 2}}}, \dots, k_{{v_{0, r_{0} - 1}, v_{0, r_{0}}}}) & (i = 0) \end{cases}$
とおくと
$ζ_{\hat{A}} (X; k) = ζ_{\hat{A}} ((k_{1} ш \dots ш k_{s})_{↑^{k_{{v_{0, 0}, v_{0, 1}}}}}, k_{0})$
が成り立つ. ここで index $k = (k_{1}, \dots, k_{r})$ と非負整数 $h$ に対し $k_{↑^{h}} = (k_{1}, \dots, k_{r} + h)$ と書いた.

証明は [OSY, Theorem 3.8] と同様にして帰納法が適用できる. また, この事実より [OSY, Theorem 3.10] と同様にして定理 1 がわかる.

References

[G] ぐれぽん, Hoffmanの恒等式, Mathlog 114 .

[O] M. Ono, Finite multiple zeta values associated with $2$ -colored rooted trees, J. Number Theory 181 (2017), 99–116; arXiv 1609.09168 .

[OSY] M. Ono, S. Seki and S. Yamamoto, Truncated $t$ -adic symmetric multiple zeta values and double shuffle relations, arXiv 2009.04112 .

[R] J. Rosen, Asymptotic relations for truncated multiple zeta values, J. London Math. Soc. (2) 91 (2015), 554-572; arXiv 1309.0908 .

[S] S. Seki, The $p$ -adic duality for the finite star-multiple polylogarithms, Tohoku Math. J. (2) 71 (2019), 111-122; arXiv 1605.06739 .

投稿日：2020年11月18日

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たけのこ赤軍

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