ちょっとおしゃれに平方剰余の第一補充法則を証明する

$f^2 = \mathrm{id}_{\mathbb{F}_p^{\times}}$なので$f$が$\mathbb{F}_p^{\times}$上の置換を定めることは明らか。
写像$f_1, \, f_2: \mathbb{F}_p^{\times} \rightarrow \mathbb{F}_p^{\times}$を$f_1(x)=-x$, $f_2(x)=x^{-1}$と定める。すると$f_1^2 = f_2^2 = \mathrm{id}_{\mathbb{F}_p^{\times}}$であるから、$f_1$は$\frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid f_1(x) \neq x \}}{2}$個、$f_2$は$\frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid f_2(x) \neq x \}}{2}$個の互換の積として書ける$\mathbb{F}_p^{\times}$上の置換を定める。
よって$f = f_2 \circ f_1$より$f$が定める置換は
$\frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid f_1(x) \neq x \}}{2} + \frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid f_2(x) \neq x \}}{2} = \frac{\#\mathbb{F}_p^{\times}}{2} + \frac{\#(\mathbb{F}_p^{\times} \backslash \{1,-1\})}{2} = p-2$個の互換の積として書けるので示せた。

補題2, 3から$\frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid f(x) \neq x \}}{2}=\frac{\#\{x \in \mathbb{F}_p^{\times} \mid x^2+1 \neq 0 \}}{2}$は奇数。よって$\#\mathbb{F}_p^{\times} = p-1$と$0^2+1 \neq 0 \: \mathrm{in} \, \mathbb{F}_p$より、$x^2+1 \in \mathbb{F}_p[x]$が$\mathbb{F}_p$にもつ(相異なる)根の個数を$A$とすれば、$p-A \equiv -1 \: (\mathrm{mod} \: 4)$となる。
よって$A=0, 2$であるから、$A \neq 0$は$p \equiv 1 \: (\mathrm{mod} \: 4)$に同値。

(必要性)
方程式$x^2 \equiv -1 \: (\mathrm{mod} \: p)$の整数解$x$は$\mathbb{F}_p^\times$の位数4の元に対応するから、$\# \mathbb{F}_p^\times = p-1$は4の倍数でなければならない。

(十分性)
$\# \mathbb{F}_p^\times = p-1$が4の倍数なら$\mathbb{F}_p^\times$の2-Sylow部分群は位数が4以上となる。位数2以下の$\mathbb{F}_p^\times$の元$x$は$x^2-1 \in \mathbb{F}_p^\times[x]$の根だから$\pm 1$のみ。よって$\mathbb{F}_p^\times$は位数4の元$x$を含み、$x^2$の位数は2だから$x^2 = -1$が成立する。