三角圏のt-structureの片割れ（aisle）の特徴づけと若松の補題

1. 明らか。

2. 任意に対象$T\in \mathcal{T}$をとると、$T\in \mathcal{X}\ast \mathcal{Y}$より三角$X\to T\to Y\to$が存在するが、$\mathcal{T}(\mathcal{X},-)$かませると$\mathcal{T}(\mathcal{X},X)\to \mathcal{T}(\mathcal{X},T)\to \mathcal{T}(\mathcal{X},Y)=0$なので、$X\to T$が右$\mathcal{X}$近似である。

$X\in \mathcal{X}$をとり射$X\to K_T[1]$を考え、これがゼロを見たい。これに$K_T[1]\to X_T[1]$を合成して三角圏の公理により下の三角の射ができる。
$$\begin{array}{ccccccc}{X}_T& \stackrel{}{\to }& W& \stackrel{}{\to }& X& \stackrel{}{\to }& X_T[1]\\ \parallel & & \downarrow & & \downarrow & & \parallel & \\ X_T& \stackrel{}{\to }& T& \stackrel{}{\to }& K_X[1]& \stackrel{}{\to }& X_T[1]\end{array}$$
ここで$\mathcal{X}$が拡大で閉じていたので$W\in \mathcal{X}$である。よって$X_T\to T$が右$\mathcal{X}$近似だったことから、射$W\to X_T$がとれ、次の可換図式ができる。
$$\begin{array}{ccccc}{X}_T& \stackrel{}{\to }& W& \stackrel{}{\to }& X_T\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ T& =& T& =& T\end{array}$$
よって$X_T\to T$の右極小性により上の射の合成は同型、とくに$X_T\to W$はsectionになる。

ここでもとの三角に戻ると、$X_T\to W$がsectionより$X\to X_T[1]$はゼロ射、よって可換性により$X\to K_X[1]\to X_T[1]$もゼロ。故に弱核の普遍性により$X\to K_X[1]$は左側の$T\to K_X[1]$を通るが、伸びる射$X\to T$はさらに右$\mathcal{X}$近似$X_T\to T$を通る。よって$X\to K_X[1]$は$X_T\to T\to K_X[1]$を通ることになりゼロとなる。

1ならば2はすでに示した。

逆に2を仮定する。このとき、$\mathcal{X}$と${\mathcal{X}}^{\perp }$は直和因子で閉じて$\mathcal{X}\perp {\mathcal{X}}^{\perp }$を満たすので、条件$\mathcal{T}=\mathcal{X}\ast {\mathcal{X}}^{\perp }$のみ確かめればよい。

任意に$T\in \mathcal{T}$を取ると、$\mathcal{T}$がKrull-Schmidtかつ$\mathcal{X}$が反変的有限で直和因子で閉じるので、極小右$\mathcal{X}$近似$X_T\to T$が取れる（ この記事 参照）。よってこれを三角に伸ばして
$$X_T\to T\to Y\to X_T[1]$$
が作れるが、若松の補題により$\mathcal{T}(\mathcal{X},Y)=0$である、つまり$Y\in {\mathcal{X}}^{\perp }$となる。よって示された。

前節の証明により、2と「$\mathcal{U}$はシフトで閉じており、あるtorsion pairの左側に来る」は同値である。これは「$\mathcal{U}$はshift-closedなtorsion pairの片割れ」と同値であり、$t$-structureとtorsion pairとの関係により1とも同値である。