こんにちは、MakkyoExistsです。前回の記事からだいぶ間が空いてしまいました。自律神経失調症による不眠症と片頭痛と眩暈と逆流性食道炎がひどくてまともに勉強が進まない毎日です(こうして文字に起こしてみるとだいぶ体調悪いな……笑)
まぁ自分の体なのでしょうがないですね。頑張ります。
本日はべき零群の性質として有名な以下の定理
が成り立つ。
を証明したいと思います。正規化群は以前の記事(
https://mathlog.info/articles/554
)でも出てきた通りですが
という定義です。では見ていきましょう。
まずはべき零群とはなんぞやというところから定義したいと思います。既知の方は飛ばしてください。
という状況になっていて、さらに任意の
をみたしているとする。このとき
べき零群はそれ単体でも研究対象として十分広いクラスを持ちます。大事な事実がいくつかあってまずべき零群の部分群はまたべき零群になるということです。これは大元の群の中心列を部分群に制限することで示せます。またべき零群の剰余群もべき零群になります。この2つの事実はとても基本です。(リクエストがあれば証明も付けますがググれば色々出てくると思うのでハショります。)
では冒頭の定理
が成り立つ。
を証明します。この証明には対応定理とよばれる、剰余群の部分群と大元の群の割ったところを含む部分群が対応しているという事実を使いますので初学者には少し誤魔化されているように感じるところがあるかもしれません。この辺も分かりづらいと感じられたら別記事を書きますので是非コメント下さい。
である。ここで
となるものとする。中心列の定義から
となる。よって
(厳密にいうとここで対応定理っぽいことを言及しなければならない。)
以上より
がいえたので
どうだったでしょうか? 剰余群をとる操作を何回かするので初学者にとっては目が疲れる作業だったかもしれないですね。
ちなみに、このNormalizers growは逆も言えて、今日やったこととまとめると
が言えます。有限べき零群には同値な条件がいくつかあって、有名なものでいうと有限べき零群はシロー群全部の直積になるというものがあります。これは有限べき零群の構造定理とも言われますね。また機会があったらこの辺も書きたいと思います。
今回も最後まで読んで頂いてありがとうございました。誤字脱字誤り箇所など見つけたら教えて下さい。また読んでみた感想もお待ちしております。
あー疲れた。不眠症ヤバいですがとりあえず横になっとこうと思います。では、また!('-'*)