『台がコンパクトでない可微分関数で導関数の台がコンパクトになる例』の行間
ごあいさつ
こんにちは！はっぴーたーんです！
この記事は、元々はこちらの記事 Ohrui において投稿者によって間違った証明が解説されており、一度はとあるMathlogユーザー（名前は伏せさせて頂きます🙏）によってコメント欄で指摘が行われたものの、元記事の投稿者によるX(Twitter)での指摘者に対する誹謗中傷が原因で削除されてしまったコメントの内容を紹介する記事となっています〜（元のコメントの投稿者から記事化の許可はいただいております！）
それでは、やっていきましょ〜
本題
今回、証明（を紹介）していく主張は次のものになります！
$\mathbb R$上の任意の可微分関数$u$について
$$\mathrm{supp}(u') \subseteq \mathrm{supp} (u)$$
が成り立つ. ただし, $\mathrm{supp}(f)$は関数$f$の台（非零点集合の閉包）$\overline{\{x \in \mathbb R : f(x) \neq 0\}}$を表す.
削除されたコメントによると、元々は次のような証明が掲載されていたようです！
一般に,
$$u(x) = 0 \Rightarrow u'(x) = 0$$
が成り立つことから分かる.
高校生でも分かることですが、この証明内で使われている主張は一般に成立しません！
$u(x) := x\ (x \in \mathbb R)$とすると$u(0) = 0$だが$u'(0) = 1 \neq 0$である.
という訳で、正しい証明をやっていきましょ〜（元のコメントの投稿者さんに感謝です！）
$\mathrm{supp}(u)^c \subseteq \mathrm{supp} (u')^c$を示す. $x \in (\mathrm{supp} (u))^c$とする. このとき,
$$(\mathrm{supp} (u))^c = \left( \overline{\{x \in \mathbb R : u(x) \neq 0\}} \right)^c = \left( \{x \in \mathbb R : u(x) \neq 0\}^c \right)^\circ = \{x \in \mathbb R : u(x) = 0\}^\circ $$
なので, ある$\delta > 0$が存在して, 任意の$y \in \mathbb R$について$|y-x| < \delta$ ならば $u(y) = 0$となる. 特に, 任意の$h \in \mathbb R$について$0 < |h| < \delta$ならば
$$\frac{u(x+h) - u(x)}{h} = \frac{0 - 0}{h} = 0$$
なので, 微分の定義から$u'(x) = 0$となる.
よって, $x \in (\mathrm{supp} (u))^c$の任意性から$(\mathrm{supp} (u))^c \subseteq \{x \in \mathbb R : u'(x) = 0\}$が得られる.
はじめに見たように$(\mathrm{supp} (u))^c$は開集合なので, 内部の最大性から
$$(\mathrm{supp} (u))^c \subseteq \{x \in \mathbb R : u'(x) = 0\}^\circ = (\mathrm{supp}(u'))^c$$
となる.
（証明終）
おわりに
いかがでしたか？みなさんも、一見成り立ちそうだけど実は成り立たない主張をうっかり確認もせずに証明内で使ってしまわないように気をつけましょうね〜
それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜
参考文献
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