『台がコンパクトでない可微分関数で導関数の台がコンパクトになる例』の行間

一般に,

$$u(x)=0\Rightarrow u^{\prime }(x)=0$$

が成り立つことから分かる.

$\mathrm{supp}(u{)}^c\subseteq \mathrm{supp}(u^{\prime }{)}^c$を示す. $x\in (\mathrm{supp}(u){)}^c$とする. このとき,

$$(\mathrm{supp}(u){)}^c={\left(\overline{\{x\in \mathbb{R}:u(x)\ne 0\}}\right)}^c={(\{x\in \mathbb{R}:u(x)\ne 0{\}}^c)}^{\circ }=\{x\in \mathbb{R}:u(x)=0{\}}^{\circ }$$

なので, ある$\delta >0$が存在して, 任意の$y\in \mathbb{R}$について$|y-x|<\delta$ ならば $u(y)=0$となる. 特に, 任意の$h\in \mathbb{R}$について$0<|h|<\delta$ならば

$$\frac{u(x+h)-u(x)}{h}=\frac{0-0}{h}=0$$

なので, 微分の定義から$u^{\prime }(x)=0$となる.

よって, $x\in (\mathrm{supp}(u){)}^c$の任意性から$(\mathrm{supp}(u){)}^c\subseteq \{x\in \mathbb{R}:u^{\prime }(x)=0\}$が得られる.

はじめに見たように$(\mathrm{supp}(u){)}^c$は開集合なので, 内部の最大性から

$$(\mathrm{supp}(u){)}^c\subseteq (\{x\in \mathbb{R}:u^{\prime }(x)=0\}{)}^{\circ }=(\mathrm{supp}(u^{\prime }){)}^c$$

となる.

（証明終）