『台がコンパクトでない可微分関数で導関数の台がコンパクトになる例』の行間
ごあいさつ
こんにちは！はっぴーたーんです！
今回は、こちらの記事 Ohrui（削除済みなのでアーカーブです）で誤った証明が紹介されていた主張の、正しい説明を紹介したいと思います〜
元々、その誤りについてはコメント欄にて指摘されていたものの、そのコメントが削除されてしまったので、記録用に記事にしています！
それでは、やっていきましょ〜
本題
今回、証明していく主張は次のものになります！
$\mathbb R$上の任意の可微分関数$u$について
$$\mathrm{supp}(u') \subseteq \mathrm{supp} (u)$$
が成り立つ. ただし, $\mathrm{supp}(f)$は関数$f$の台（非零点集合の閉包）$\overline{\{x \in \mathbb R : f(x) \neq 0\}}$を表す.
元々は次のような証明が掲載されていたようです！
一般に,
$$u(x) = 0 \Rightarrow u'(x) = 0$$
が成り立つことから分かる.
この証明内で使われている主張は一般に成立しません！
$u(x) := x\ (x \in \mathbb R)$とすると$u(0) = 0$だが$u'(0) = 1 \neq 0$である.
という訳で、正しい証明をやっていきましょ〜
$\mathrm{supp}(u)^c \subseteq \mathrm{supp} (u')^c$を示す. $x \in (\mathrm{supp} (u))^c$とする. このとき,
$$(\mathrm{supp} (u))^c = \left( \overline{\{x \in \mathbb R : u(x) \neq 0\}} \right)^c = \left( \{x \in \mathbb R : u(x) \neq 0\}^c \right)^\circ = \{x \in \mathbb R : u(x) = 0\}^\circ $$
なので, ある$\delta > 0$が存在して, 任意の$y \in \mathbb R$について$|y-x| < \delta$ ならば $u(y) = 0$となる. 特に, 任意の$h \in \mathbb R$について$0 < |h| < \delta$ならば
$$\frac{u(x+h) - u(x)}{h} = \frac{0 - 0}{h} = 0$$
なので, 微分の定義から$u'(x) = 0$となる.
よって, $x \in (\mathrm{supp} (u))^c$の任意性から$(\mathrm{supp} (u))^c \subseteq \{x \in \mathbb R : u'(x) = 0\}$が得られる.
はじめに見たように$(\mathrm{supp} (u))^c$は開集合なので, 内部の最大性から
$$(\mathrm{supp} (u))^c \subseteq (\{x \in \mathbb R : u'(x) = 0\})^\circ = (\mathrm{supp}(u'))^c$$
となる.
（証明終）
おわりに
いかがでしたか？みなさんも、一見成り立ちそうだけど実は成り立たない主張をうっかり使ってしまわないように気をつけましょう〜
それでは、平和で楽しいMathlogライフを〜
