代数的整数の和と積と
fallatの紹介記事です．
同伴行列
モニック多項式$f(x) = a_{n}+a_{n-1}x +\cdots+ a_{1}x^{n-1}+x^{n} \in \mathbb{C}[x]$に対して，
$$
C_{\!f} \coloneqq \begin{bmatrix}
0 & 1 && \\
& \ddots & \ddots & \\
&& 0 & 1 \\
-a_{n} & -a_{n-1} & \cdots & -a_{1}
\end{bmatrix} \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C})$$
を，$f$の同伴行列という（ことにする）．
線型写像$\varphi \colon \mathbb{C}[x]/(f) \to \mathbb{C}[x]/(f)$を
$$
\varphi(x^{k}) \coloneqq x^{k+1}$$
で定めると，
$$
\begin{bmatrix}
\varphi(1) & \varphi(x) & \cdots & \varphi(x^{n-1})
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
x & x^{2} & \cdots & -a_{n}-a_{n-1}x -\cdots- a_{1}x^{n-1}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
1 & x & \cdots & x^{n-1}
\end{bmatrix} {C_{\!f}}^{\T}$$
が成り立つ（ので，フツーは${C_{\!f}}^{\T}$のことを$f$の同伴行列という）．
$a_{0},\ldots,a_{n} \in \mathbb{C}$とする．このとき
$$
\det_{n+1} \begin{bmatrix}
x & -1 &&& \\
& x & -1 && \\
&& \ddots & \ddots & \\
&&& x & -1 \\
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & a_{0}
\end{bmatrix} = a_{n} + a_{n-1}x +\cdots+ a_{1}x^{n-1} + a_{0}x^{n}$$
が成り立つ．とくに，モニック多項式$f$の同伴行列の固有多項式は$f$に一致する：
$$
\det(xE_{n}-C_{\!f}) = f(x).$$
前半
左辺にある行列を$A_{n} \in \mathrm{M}_{n+1}(\mathbb{C})$とおく．
- Base：
$$ \det_{2}{A_{1}} = xa_{0}-(-1)a_{1} = a_{1}+a_{0}x.$$ - Induction：$\det_{n+2}{A_{n+1}}$を第1列で展開して，
\begin{align} \det_{n+2}{A_{n+1}} &= x\det_{n+1}{A_{n}} + (-1)^{1+(n+2)}a_{n+1} \cdot \det_{n+1}\begin{bmatrix} -1 &&& \\ x & -1 && \\ & \ddots & \ddots & \\ && x & -1 \\ \end{bmatrix} \\ &= x(a_{n} + a_{n-1}x +\cdots+ a_{1}x^{n-1} + a_{0}x^{n}) + a_{n+1} \\ &= a_{n+1} + a_{n}x + a_{n-1}x^{2} +\cdots+ a_{1}x^{n} + a_{0}x^{n+1} \end{align}
を得る．
後半
$f(x) \coloneqq a_{n}+a_{n-1}x +\cdots+ a_{1}x^{n-1}+x^{n}$とおくと，
\begin{align}
f(x) &= \det \begin{bmatrix}
x & -1 &&& \\
& x & -1 && \\
&& \ddots & \ddots & \\
&&& x & -1 \\
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & 1
\end{bmatrix} \\
&= \det \begin{bmatrix}
x & -1 &&& \\
& x & -1 && \\
&& \ddots & \ddots & \\
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & x+a_{1} & 0 \\
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & a_{1} & 1
\end{bmatrix} \\
&= \det \begin{bmatrix}
x & -1 && \\
& x & -1 & \\
&& \ddots &\\
a_{n} & a_{n-1} & \cdots & x+a_{1} \\
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= \det(xE_{n}-C_{\!f})
\end{align}
が成り立つ．
Kronecker積
$(n,n')$行列$A = [a_{ij}]$および$(m,m')$行列$B$に対して，$(nm,n'm')$行列$A \otimes B$を
$$
A\otimes B \coloneqq \begin{bmatrix}
a_{11}B & \cdots & a_{1n'}B \\
\vdots && \vdots \\
a_{n1}B & \cdots & a_{nn'}B
\end{bmatrix}$$
で定める．
適切なサイズの行列$A,B,C,D$に対して
$$
(A \otimes B)(C \otimes D) = (AC) \otimes (BD)$$
が成り立つ．
\begin{align} (A \otimes B)(C \otimes D) &= \begin{bmatrix} a_{11}B & \cdots & a_{1n'}B \\ \vdots && \vdots \\ a_{n1}B & \cdots & a_{nn'}B \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} c_{11}D & \cdots & c_{1n''}D \\ \vdots && \vdots \\ c_{n'1}D & \cdots & c_{n'n''}D \end{bmatrix} \\[2pt] &= \begin{bmatrix} \sum_{i=1}^{n'} a_{1i}c_{i1} BD & \cdots & \sum_{i=1}^{n'} a_{1i}c_{in''}BD \\ \vdots && \vdots \\ \sum_{i=1}^{n'} a_{ni}c_{i1}BD & \cdots & \sum_{i=1}^{n'} a_{ni}c_{in''}BD \end{bmatrix} \\[2pt] &= \begin{bmatrix} (AC)_{11} BD & \cdots & (AC)_{1n''} BD \\ \vdots && \vdots \\ (AC)_{n1} BD & \cdots & (AC)_{nn''} BD \end{bmatrix} \\[2pt] &= (AC) \otimes (BD). \end{align}
$A \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{C}),\,B \in \mathrm{M}_{m}(\mathbb{C})$とする．このとき，
$$
Ax=\alpha x,\ By = \beta y \implies \begin{dcases}
(A \otimes E_{m} + E_{n} \otimes B)(x \otimes y) = (\alpha+\beta)(x \otimes y) \\[3pt]
(A \otimes B)(x \otimes y) = \alpha\beta (x \otimes y)
\end{dcases}$$
が成り立つ．
\begin{align} (A \otimes E_{m} + E_{n} \otimes B)(x \otimes y) &= (Ax)\otimes(E_{m}y) + (E_{n}x)\otimes(By) = (\alpha x)\otimes y + x \otimes (\beta y) = (\alpha+\beta)(x \otimes y);\\ (A \otimes B)(x \otimes y) &= (Ax) \otimes (By) = (\alpha x)\otimes(\beta y) = \alpha\beta(x \otimes y). \end{align}
代数的整数
ある整数係数モニック多項式の根となる複素数を代数的整数という．
$\alpha \in \mathbb{C}$を代数的整数とする：
$$
\prescript{\exists}{}f(\alpha) = a_{n}+a_{n-1}\alpha +\cdots+ a_{1}\alpha^{n-1} + \alpha^{n}=0.$$
このとき，
$$
0 = (-1)^{n}f(\alpha) = (-1)^{n}a_{n} + (-1)^{n-1}a_{n-1}(-\alpha) +\cdots+ (-1)a_{1}(-\alpha)^{n-1} + (-\alpha)^{n}$$
が成り立つので，$-\alpha\in\mathbb{C}$も代数的整数である．
$\alpha\in\mathbb{C}$とする．このとき次は同値である：
- $\alpha$は代数的整数である；
- $\alpha$は整数を成分とするある正方行列の固有値である．
(i)$\implies$(ii)
仮定より，$f \in \mathbb{Z}[x]$であって$f(\alpha)=0$なるものが存在する．このとき，$C_{\!f} \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z})$であり，char-compaより，
$$
\det(\alpha E_{n}-C_{\!f}) = f(\alpha) = 0$$
が成り立つ．
(ii)$\implies$(i)
仮定より，$C \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z})$であって
$$
\det(\alpha E_{n} - C) = 0$$
なるものが存在する．このとき，
$$
f(x) \coloneqq \det(xE_{n}-C)$$
とおけば，これは整数係数モニック多項式であって$f(\alpha)=0$を満たす．
$\alpha,\beta \in \mathbb{C}$が代数的整数ならば，$\alpha\pm\beta,\ \alpha\beta \in \mathbb{C}$も代数的整数である．
仮定よりモニック多項式$f,g \in \mathbb{Z}[x]$であって$f(\alpha)=0,\,g(\beta)=0$なるものが存在する．このとき，char-compaより$\alpha,\beta$はそれぞれ$C_{\!f} \in \mathrm{M}_{n}(\mathbb{Z}),C_{\!g} \in \mathrm{M}_{m}(\mathbb{Z})$の固有値であるから，eigenvv-kr-prodより，$\alpha+\beta,\alpha\beta$はそれぞれ
$$
C_{\!f}\otimes E_{m} + E_{n} \otimes C_{\!g},\ C_{\!f}\otimes C_{\!g} \in \mathrm{M}_{nm}(\mathbb{Z})$$
の固有値である．よって，eigenvalueより，$\alpha+\beta,\alpha\beta$は代数的整数である．
同伴行列のKronecker積を用いて，代数的整数$\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}$を根に持つ整数係数モニック多項式を求めてみる．まづ，
$$
f(x) \coloneqq x^{2}-2,\ g(x) \coloneqq x^{2}-3,\ g'(x) \coloneqq x^{2}-5$$
とおくと，
$$
C_{\!g} = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 3 & 0
\end{bmatrix},\ C_{\!g'} = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 5 & 0
\end{bmatrix}$$
より
$$
C_{\!g} \otimes E_{2} + E_{2} \otimes C_{\!g'} = \begin{bmatrix}
& E_{2} \\ 3E_{2} &
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
C_{\!g'} & \\ & C_{\!g'}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
C_{\!g'} & E_{2} \\ 3E_{2} & C_{\!g'}
\end{bmatrix}$$
となるので，$\sqrt{3}+\sqrt{5}$は
\begin{align}
f'(x)
&\coloneqq \det(xE_{4}-(C_{\!g} \otimes E_{2} + E_{2} \otimes C_{\!g'})) \\[2pt]
&= \det \begin{bmatrix}
xE_{2}-C_{\!g'} & -E_{2} \\ -3E_{2} & xE_{2}-C_{\!g'}
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= \det((xE_{2}-C_{\!g'})^{2} - 3E_{2})\\[2pt]
&= \det \begin{bmatrix}
x^{2}+2 & -2x \\ -10x & x^{2}+2
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= (x^{2}+2)^{2}-20x^{2} \\
&= x^{4}-16x^{2}+4
\end{align}
の根である（cf. satakep.66）．さらに，
$$
C_{\!f} = \begin{bmatrix}
0 & 1 \\ 2 & 0
\end{bmatrix},\ C_{\!f'} = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ -4 & 0 & 16 & 0
\end{bmatrix}$$
より
$$
C_{\!f} \otimes E_{4} + E_{2} \otimes C_{\!f'} = \begin{bmatrix}
& E_{4} \\ 2E_{4} &
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
C_{\!f'} & \\ & C_{\!f'}
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
C_{\!f'} & E_{4} \\ 2E_{4} & C_{\!f'}
\end{bmatrix}$$
となるので，$\sqrt{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{5})$は
\begin{align}
\det(xE_{8}-(C_{\!f} \otimes E_{4} + E_{2} \otimes C_{\!f'}))
&= \det \begin{bmatrix}
xE_{4}-C_{\!f'} & -E_{4} \\ -2E_{4} & xE_{4}-C_{\!f'}
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= \det((xE_{4}-C_{\!f'})^{2}-2E_{4}) \\[2pt]
&= \det \begin{bmatrix}
x^{2}-2 & -2x & 1 & 0 \\
0 & x^{2}-2 & -2x & 1 \\
-4 & 0 & x^{2}+14 & -2x \\
8x & -4 & -32x & x^{2}+14
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= (x^{2}-2) \det \begin{bmatrix}
x^{2}-2 & -2x & 1 \\ 0 & x^{2}+14 & -2x \\ -4 & -32x & x^{2}+14
\end{bmatrix} +2x \det \begin{bmatrix}
0 & -2x & 1 \\ -4 & x^{2}+14 & -2x \\ 8x & -32x & x^{2}+14
\end{bmatrix} + \det \begin{bmatrix}
0 & x^{2}-2 & 1 \\ -4 & 0 & -2x \\ 8x & -4 & x^{2}+14
\end{bmatrix} \\[2pt]
&= (x^{2}-2)^{2}((x^{2}+14)^{2}-64x^{2}) -4(x^{2}-2)(4x^{2}-(x^{2}+14)) \\
&\phantom{=}\quad {}+ 8x(-2x(x^{2}+14)+32x) + 16x^{2}(4x^{2}-(x^{2}+14)) \\
&\phantom{=}\quad {}+4((x^{2}-2)(x^{2}+14)+4) -16x^{2}(x^{2}-2) \\
&= (x^{2}-2)((x^{2}-2)(x^{4}-36x^{2}+196) -4(3x^{2}-14)-16x^{2} +4(x^{2}+14) -16x^{2}) \\
&\phantom{=} \quad{} +16x^{2}(3x^{2}-14) + 16 \\
&= (x^{2}-2)(x^{6}-38x^{4}+228x^{2}-280) +48x^{4}-224x^{2}+16 \\
&= x^{8}-40x^{6}+352x^{4}-960x^{2}+576
\end{align}
の根である．
$-\sqrt{2},-\sqrt{3},-\sqrt{5}$もそれぞれ$f,g,g'$の根なので，
$$
x^{8}-40x^{6}+352x^{4}-960x^{2}+576 = \prod (x\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5})$$
が成り立つ．何となれば，どちらも$\pm\sqrt{2}\pm\sqrt{3}\pm\sqrt{5}$を根に持つ$8$次モニック多項式だからである．
$a_{1},\ldots,a_{n} \in \mathbb{C}$が代数的整数であるとき，多項式
$$
f(x) = f(x;a_{1},\ldots,a_{n}) \coloneqq x^{n}+a_{1}x^{n-1} +\cdots+ a_{n-1}x+a_{n}$$
の根は代数的整数である．
整数係数モニック多項式$f_{1},\ldots,f_{n} \in \mathbb{Z}[x]$であって$f_{i}(a_{i})=0$なるものを取り，その根を
$$
\alpha_{i,1} \coloneqq a_{i}, \alpha_{i,2},\ldots,\alpha_{i,d_{i}},\ d_{i} \coloneqq \deg{f_{i}}$$
とおく．このとき，多項式
$$
F(x) \coloneqq \prod_{1 \leq j_{i} \leq d_{i}} f(x;\alpha_{1,j_{1}},\ldots,\alpha_{n,j_{n}})$$
を考えると，その係数は$f_{1}$の根$(\alpha_{1,1},\ldots,\alpha_{1,d_{1}})$の置換に関して不変なので，$(\alpha_{1,1},\ldots,\alpha_{1,d_{1}})$の基本対称式すなわち$f_{1}$の係数と$(\alpha_{2,1},\ldots,\alpha_{2,d_{2}}),\ldots,(\alpha_{n,1},\ldots,\alpha_{n,d_{n}})$との整数係数多項式として表わせる．同様のことが$(\alpha_{2,1},\ldots,\alpha_{2,d_{2}}),\ldots,(\alpha_{n,1},\ldots,\alpha_{n,d_{n}})$についても言えるので，結局$F$の係数は$f_{1},\ldots,f_{n}$の係数の整数係数多項式で表わせる．よって$F$は整数係数モニック多項式であり，明らかに
$$
f(\alpha)=0 \implies F(\alpha)=0$$
が成り立つので，結論を得る．
$a_{1}=\sqrt{2},a_{2}=\sqrt{3}$のとき，
\begin{align}
F(x)
&= (x^{2}+\sqrt{2}x+\sqrt{3})(x^{2}+\sqrt{2}x-\sqrt{3})(x^{2}-\sqrt{2}x+\sqrt{3})(x^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{3}) \\
&= ((x^{2}+\sqrt{2}x)^{2}-3)((x^{2}-\sqrt{2}x)^{2}-3) \\
&= (x^{4}+2x^{2}-3+2\sqrt{2}x^{3})(x^{4}+2x^{2}-3-2\sqrt{2}x^{3}) \\
&= (x^{4}+2x^{2}-3)^{2}-8x^{6} \\
&= x^{8}-4x^{6}-2x^{4}-12x^{2}+9
\end{align}
となるので，確かに$F$の係数は整数である．
代数的数
ある有理数係数モニック多項式の根となる複素数を代数的数という．
$\alpha \in \mathbb{C}$を代数的数とする：
$$
\prescript{\exists}{}f(\alpha) = a_{n}+a_{n-1}\alpha +\cdots+ a_{1}\alpha^{n-1} + \alpha^{n}=0.$$
このとき，
$$
0 = (-1)^{n}f(\alpha) = (-1)^{n}a_{n} + (-1)^{n-1}a_{n-1}(-\alpha) +\cdots+ (-1)a_{1}(-\alpha)^{n-1} + (-\alpha)^{n}$$
が成り立つので，$-\alpha\in\mathbb{C}$も代数的数である．また，$\alpha\neq 0$であるとき，
$$
m \coloneqq \max\{k \in \{1,\ldots,n\} \mid a_{k}\neq 0\}$$
とおけば
$$
0 = \frac{1}{a_{m}\alpha^{n}}f(\alpha) = \frac{1}{a_{m}} + \frac{a_{1}}{a_{m}}\alpha^{-1} +\cdots+ \frac{a_{m-1}}{a_{m}}\alpha^{-(m-1)} + \alpha^{-m}$$
が成り立つので，$\alpha^{-1} \in \mathbb{C}$も代数的数である．
$\alpha\in\mathbb{C}$とする．このとき次は同値である：
- $\alpha$は代数的数である；
- $\alpha$は有理数を成分とするある正方行列の固有値である．
$\alpha,\beta\,(\neq0) \in \mathbb{C}$が代数的数ならば，$\alpha\pm\beta,\ \alpha\beta^{\pm1} \in \mathbb{C}$も代数的数である．
$a_{1},\ldots,a_{n} \in \mathbb{C}$が代数的数であるとき，多項式
$$
f(x) = f(x;a_{1},\ldots,a_{n}) \coloneqq x^{n}+a_{1}x^{n-1} +\cdots+ a_{n-1}x+a_{n}$$
の根は代数的数である．
