ガロア理論⑬　代数閉包の存在

代数閉包の存在を示すには，$K$を含む代数閉体$M$の存在を示せばよい。なぜなら，$L=\{α∈M|α$は$K$上代数的$\}⊆M$は$K$の代数閉包であるからである。

そこで，$S=\{f∈K[x]|f$は$K$上既約$\}$とし，$A=K[x_f]_{f∈S}$とする。$I=(\{f(x_f)|f∈S\})⊆A$として，$I≠A$を示そう。そのために，$I=A$すなわち$1∈I$と仮定する。すると，
$1=a_1f_1(x_{f_1})+a_2f_2(x_{f_2})+\cdots+a_nf_n(x_{f_n})$　（＊）
を満たす$a_i∈A,f_i∈S$が存在する。$f_1f_2\cdots f_n$の分解体$N$をとると，$\forall i=1,2,\cdots,n,\exists α_i∈N\:\rm{s.t.}$$\:f_i(α_i)=0$
(＊)において$x_{f_i}=α_i$とし，その他の変数$x_f=0$とすると，$1=0$を得るため矛盾。
よって$I≠A$

ゆえに，$I$を含む極大イデアル$J\in A$が存在し，$K_1=A/J$とすると$K_1$は体$^{*1}$である。
このとき，自然な単射準同型$K→K_1,a↦a+J$により$K$は$K_1$に埋め込まれる。
$α_f=x_f+J$とすると， $\forall f∈S$に対し，$f(α_f)=f(x_f)+J=0+J\;(∵f(x_f)∈I⊆J))$
$α_f∈K_1$は$f∈K[x]$の根の$1$つである。

いま，$K$の拡大体$K_1$は$K$上の任意の$1$次以上の多項式について，その根を少なくとも$1$つ含んでいる。
同様に$K_1$を繰り返し拡大し，（つまり$K_{i+1}$が$K_i$上の任意の$1$次以上の多項式の根を$1$つ以上含むようにして）体の列
$K⊆K_1⊆K_2⊆\cdots$
をつくる。$\displaystyle K_∞=\bigcup_{n=1}^∞K_n$とすると，容易にわかるように$K_∞$は体となる$^{*3}$。そしてさらに，これは代数閉体である。そのことを以下に示そう。

$f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n∈K_∞[x]\:(\deg f≥1)$とする。各$m=0,1,\cdots,n$に対して，$i_m∈ℕ$が存在して$a_m∈K_{i_m}$を満たすから，最大の$i_m$を$i$とすれば$f∈K_i[x]$
体の列の構成法から，$K_{i+n}⊆K_∞$は$f$の根をすべて含む$^{*2}$。
いま，$f$は任意であったから，$K_∞$は代数閉体である。

以上より$K_∞$は$K$を含む代数閉体
であることが示された。したがって，$K$は代数閉包をもつ。▢