線形漸化式/微分方程式の解と係数の関係
はじめに
この記事では線形漸化式
$$u_{n+d}+p_{d-1}(n)u_{n+d-1}+\cdots+p_1(n)u_{n+1}+p_0(n)u_n=0$$
や線形微分方程式
$$u^{(d)}+p_{d-1}(t)u^{(n+d-1)}+\cdots+p_1(t)u'+p_0(t)u=0$$
の解と係数の関係について簡単に紹介していきます。
公式
発想としては単純で
\begin{align}
&u\text{ がある $d$ 階線形漸化式/微分方程式を満たす}\\
\iff{}&u\text{ は基本解 $u^{(1)},u^{(2)},\ldots,u^{(d)}$ の線型結合で書ける}\\
\iff{}&u,u^{(1)},u^{(2)},\ldots,u^{(d)}\text{ から構成されるある行列式が $0$ となる}
\end{align}
という言い換えを利用するだけであり、具体的には次のような公式が成り立ちます。
漸化式の場合
数列$u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n$に対し
\begin{align}
C(u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n)
&=\det{}((u^{(j)}_{n+i-1})_{1\leq i,j\leq d})\\
&=\det\begin{pmatrix}
u^{(1)}_n&u^{(2)}_n&\cdots&u^{(d)}_n\\
u^{(1)}_{n+1}&u^{(2)}_{n+1}&\cdots&u^{(d)}_{n+1}\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+d-1}&u^{(2)}_{n+d-1}&\cdots&u^{(d)}_{n+d-1}
\end{pmatrix}
\end{align}
とおく。
$$u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n$$
を$d+1$項間線形漸化式
$$u_{n+d}+p_{d-1}(n)u_{n+d-1}+\cdots+p_1(n)u_{n+1}+p_0(n)u_n=0$$
の線形独立な解とする。このとき
\begin{align}
&u_{n+d}+p_{d-1}(n)u_{n+d-1}+\cdots+p_1(n)u_{n+1}+p_0(n)u_n\\
={}&(-1)^d\frac{C(u_n,u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n)}{C(u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n)}
\end{align}
が成り立つ。
$$u^{(j)}_{n+d}=-p_{d-1}(n)u^{(j)}_{n+d-1}-\cdots-p_1(n)u^{(j)}_{n+1}-p_0(n)u^{(j)}_n$$
に注意すると
$$C(u_n,u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n)$$
における$u_{n+j}\quad(j\neq d)$の係数は
\begin{align}
(-1)^j\det\begin{pmatrix}
u^{(1)}_n&\cdots&u^{(d)}_n\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+j-1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j-1}\\
u^{(1)}_{n+j+1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j+1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+d}&\cdots&u^{(d)}_{n+d}
\end{pmatrix}
&=(-1)^j\det\begin{pmatrix}
u^{(1)}_n&\cdots&u^{(d)}_n\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+j-1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j-1}\\
u^{(1)}_{n+j+1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j+1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
-p_j(n)u^{(1)}_{n+j}&\cdots&-p_j(n)u^{(d)}_{n+j}
\end{pmatrix}\\
&=(-1)^{j+1}p_j(n)\c(-1)^{d-1-j}\det\begin{pmatrix}
u^{(1)}_n&\cdots&u^{(d)}_n\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+j-1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j-1}\\
u^{(1)}_{n+j}&\cdots&u^{(d)}_{n+j}\\
u^{(1)}_{n+j+1}&\cdots&u^{(d)}_{n+j+1}\\
\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(1)}_{n+d-1}&\cdots&u^{(d)}_{n+d-1}
\end{pmatrix}\\
&=(-1)^dp_j(n)C(u^{(1)}_n,u^{(2)}_n,\ldots,u^{(d)}_n)
\end{align}
と求まることがわかる。
微分方程式の場合
関数$u_1(t),u_2(t),\ldots,u_d(t)$に対し
\begin{align}
W(u_1,u_2,\ldots,u_d)
&=\det{}((u_j^{(i-1)})_{1\leq i,j\leq d})\\
&=\det\begin{pmatrix}
u_1&u_2&\cdots&u_d\\
u'_1&u'_2&\cdots&u'_d\\
\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
u^{(d-1)}_1&u^{(d-1)}_2&\cdots&u^{(d-1)}_d\\
\end{pmatrix}
\end{align}
とおく。
$$u_1(t),u_2(t),\ldots,u_d(t)$$
を$d$階線形微分方程式
$$u^{(d)}+p_{d-1}(t)u^{(n+d-1)}+\cdots+p_1(t)u'+p_0(t)u=0$$
の線形独立な解とする。このとき
\begin{align}
&u^{(d)}+p_{d-1}(t)u^{(n+d-1)}+\cdots+p_1(t)u'+p_0(t)u\\
={}&(-1)^d\frac{W(u,u_1,u_2,\ldots,u_d)}{W(u_1,u_2,\ldots,u_d)}
\end{align}
が成り立つ。
漸化式の場合と全く同様なので省略。
具体例
例えば$d=2$の場合を考えたとき
\begin{align}
C(u_n,a_n,b_n)
&=\det\begin{pmatrix}
u_n&a_n&b_n\\
u_{n+1}&a_{n+1}&b_{n+1}\\
u_{n+2}&a_{n+2}&b_{n+2}\\
\end{pmatrix}\\
&=(a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n)u_{n+2}
-(a_nb_{n+2}-a_{n+2}b_n)u_{n+1}
+(a_{n+1}b_{n+2}-a_{n+2}b_{n+1})u_n\\
\\
W(u,x,y)
&=\det\begin{pmatrix}
u&x&y\\
u'&x'&y'\\
u'&x''&y''\\
\end{pmatrix}\\
&=(xy'-x'y)u''-(xy''-x''y)u'+(x'y''-x''y')u
\end{align}
と展開できることを用いると特定の数列/関数を解に持つ漸化式/微分方程式を構成することができます。
$a_n=2^n,\ b_n=n!$とおいたとき
\begin{align}
a_nb_{n+1}-a_{n+1}b_n&=(n+1-2)\c2^nn!\\
a_nb_{n+2}-a_{n+2}b_n&=((n+1)(n+2)-4)\c2^nn!
\end{align}
より$u_n=2^n,n!$を解に持つような漸化式として
\begin{align}
0&=\frac{C(u_n,a_n,b_n)}{2^nn!}\\
&=(n-1)u_{n+2}-(n^2+3n-2)u_{n+1}+2n(n+1)u_n
\end{align}
というものが構成できる。
$x(t)=e^t,\ y(t)=e^{t^2}$とおいたとき
\begin{align}
xy'-x'y&=(2t-1)e^{t^2+t}\\
xy''-x''y&=(4t^2+2-1)e^{t^2+t}\\
x'y''-x''y'&=(4t^2+2-2t)e^{t^2+t}
\end{align}
より$u(t)=e^t,e^{t^2}$を解に持つような微分方程式として
\begin{align}
0&=W(u,x,y)e^{-t^2-t}\\
&=(2t-1)u''-(4t^2+1)u'+2(2t^2-t+1)u
\end{align}
というものが構成できる。
おまけ
解と係数の関係
ちなみに一般の線形漸化式
$$\u_{n+1}=A(n)\u_n\quad(\u_n\in\mathbb{C}^d)$$
や線形微分方程式
$$\u'=A(t)\u\quad(\u(t)\in\mathbb{C}^d)$$
の場合を考えると、その基本解のCasorati行列やWronski行列
\begin{align}
\C(n)&=\begin{pmatrix}\u^{(1)}&\u^{(2)}&\cdots&\u^{(d)}\end{pmatrix}\\
\W(t)&=\begin{pmatrix}\u_1&\u_2&\cdots&\u_d\end{pmatrix}
\end{align}
について
$$\C(n+1)=A(n)\C(n),\quad\W'(t)=A(t)\W(t)$$
が成り立つので
$$A(n)=\C(n+1)\C(n)^{-1},\quad A(t)=\W'(t)\W(t)^{-1}$$
と$A$を逆算することができます。
例えば
$$A(x)=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
-p_0(x)&-p_1(x)&-p_2(x)&\cdots&-p_{d-1}(x)
\end{pmatrix}$$
の場合に色々計算することで上のような公式が得られるものと思われます。
CasoratianとWronskian
また上の方程式におけるCasoratianやWronskian
$$C(n)=\det\C(n),\quad W(t)=\det\W(t)$$
は
$$C(n+1)=(\det A(n))C(n),\quad W'(t)=\tr(A(t))W(t)$$
という関係式を満たすことが知られています(Casoratianについては自明、Waronskianについては
この記事
で紹介している)。
例えば
$$A(x)=\begin{pmatrix}
0&1&0&\cdots&0\\
0&0&1&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\
0&0&0&\cdots&1\\
-p_0(x)&-p_1(x)&-p_2(x)&\cdots&-p_{d-1}(x)
\end{pmatrix}$$
の場合には
$$p_0(n)=(-1)^d\frac{C(n+1)}{C(n)},\quad p_{d-1}(t)=-\frac{W'(t)}{W(t)}$$
が成り立つことを覚えておくといいかもしれません。
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